Решение

1. Область определения.

Т. к. , , таким образом .

2. Четность, нечетность, периодичность.

, , .

Следовательно, данная функция не является ни четной, ни нечетной.

В состав функции не входят периодические функции, следовательно, функция непериодическая.

3. Непрерывность.

Вычислим односторонние пределы в точке .

;

.

Следовательно, в точке функция терпит разрыв 2-го рода (бесконечный).

4. Асимптоты.

а) Так как в точке функция терпит разрыв 2-го рода, значит прямая – вертикальная асимптота.

б) Найдем наклонные асимптоты:

;

.

.

Таким образом, при график функции имеет горизонтальную асимптоту . А при наклонных (горизонтальных) асимптот нет.

5. Нули функции и интервалы знакопостоянства.

ни при каких х, следовательно, график функции с осью Ох не пересекается, причем на всей области определения функция положительна.

,  (0, 1) – точка пересечения с осью Оу.

6. Интервалы монотонности и экстремумы.

Найдем :

.

при – критическая точка функции.

не существует при .

Разобьем всю числовую прямую на интервалы точками и , и определим знак производной на этих интервалах:

	(–,–1)	–1	(–1, 1)	1	(1, +)
	–	не сущ	–	0	+
	Error: Reference source not found	точка разрыва	Error: Reference source not found	min	Error: Reference source not found

7. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Найдем :

.

, при , , действительных корней нет. Следовательно, точек перегиба нет.

не существует при .

Определим интервалы знакопостоянства второй производной :

	(–,–1)	–1	(–1, +)
	+	не сущ	+
	вогнута	не сущ	вогнута

8. Построим график (см. рис. 32).

1. Область значений. На основании построенного графика получаем, что .

в) .

1. Область определения.

Функция является многочленом третьей степени. Следовательно, .

2. Четность, нечетность. Периодичность функции.

,  , .

Следовательно, не является ни четной, ни нечетной функцией.

В выражение не входят периодические функции, значит, не является периодичной.

3. Непрерывность.

Функция определена при всех значениях х,  не имеет точек разрыва. Определим поведение функции на концах области определения.

,

аналогично получим, что

.

Знак определяется знаком старшего члена .

Таким образом, слева (при ) график функции уходит неограниченно вниз, а справа (при ) – неограниченно вверх.

4. Асимптоты.

а) Т. к. функция не имеет точек разрыва и является многочленом третьей степени, то вертикальных асимптот нет.

б) Так как

,

то наклонных (горизонтальных) асимптот нет.

5. Нули и интервалы знакопостоянства.

Найдем точки пересечения с осями координат.

С осью оу: . Получили точку (0, –16).

С осью ох: решаем кубическое уравнение:

. ()

Действительными корнями уравнения могут являться делители свободного члена, равного 16. Т. е. такими корнями могут быть числа 1, 2, 4, 8, 16.

При получаем , следовательно, является корнем уравнения (). Тогда многочлен делится на без остатка (выполняем деление «уголком»):

Таким образом, . Следовательно, график функции пересекает ось ох в точках (1, 0) и (4, 0).

Составим таблицу:

х	(–, 1)	(1, 4)	(4, +)
	–	+	+

6. Интервалы монотонности, точки экстремума.

Найдем .

.

    , .

Составим таблицу:

х	(–, 2)	2	(2, 4)	4	(4, +)
	+	0	–	0	+
		4 max		0 min

7. Интервалы выпуклости, точки перегибы графика.

,   .

Определим интервалы знакопостоянства второй производной :

х	(–, 3)	3	(3, +)
	–	0	+
	выпукла	2 перегиб	вогнута

8. График.

Для построения графика можно взять дополнительные точки. Например, (5, 4). См. рис. 33.

О бласть значений. На основании построенного графика получаем, что .

Пример 5. Опираясь на график функции (рис. 34) для ее производной найдите:

1) область существования;

2) нули, интервалы знакопостоянства и разрывы (установить их характер);

3) вертикальные и горизонтальные асимптоты;

4) интервалы монотонности и экстремумы.

Используя результаты проведенного исследования, построить схематически график .