§ 1.2. Задачі для самостійного роз’язання

1. Скалярне поле φ задано в декартовій системі координат виразом

Обчислити векторне поле grad φ.

Відповідь:

2. Визначити дивергенцію і ротор векторного поля А, що характеризується наступними складовими в циліндричній системі координат: А_r = 10/r³, А_φ = 0, А_г = 0.

Відповідь: div А = -10/r³, rot А = 0.

3. Визначити дивергенцію і ротор векторного поля А, який у сферичній системі координат має єдину складову .

Відповідь: div А = 0, rot А = 16 (1 - 5r) ехр (-10r)

4. У декартовій системі координат деяке скалярне поле задано тривимірним інтегралом Фур'є

Обчислити .

Відповідь:

де .

5. Зобразити графічно картину силових ліній векторних полів, заданих у декартовій системі координат своїми проекціями:

6. Знайти ротор і дивергенцію наступних векторних полів, заданих у декартовій системі координат:

Відповідь: .

7. Використовуючи правила дії з оператором Гамільтона, довести тотожність

8. У просторі задані два векторних поля А і В. Знайти вираз для поля C = grad (AB).

Вказівка: Виразити операцію grad через оператор і скористатися правилом диференціювання добутку.

Відповідь: .

9. Довести наступні тотожності векторного аналізу (φ і А – довільні диференційовані скаляр та векторне поле):

Розділ другий рівняння максвела § 2.1. Основні теоретичні відомості

Класична теорія електромагнетизму базується на рівняннях Максвела, що описують сукупність емпіричних відомостей про електромагнітне поле. Для вакууму вводять два основних векторних об'єкти — напруженість електричного поля Е та напруженість магнітного поля Н. Крім того, визначають скалярне поле об'ємної густини електричного заряду ρ і векторне поле об'ємної густини електричного струму J_е, зв'язаного з рухом носіїв заряду в просторі. Система рівнянь Максвела в диференціальній формі для вакууму щодо згаданих вище величин записується наступним чином

(2.0)

У ці рівняння входять дві фундаментальні фізичні константи:  Ф/м — електрична стала і μ₀ = 4πּ10^-7 Гн/м — магнітна стала.

До основних принципів електродинаміки відноситься також закон збереження електричного заряду, що знаходить своє відображення в рівнянні неперервності струму:

(2.0)

Перше рівняння системи ( 2 .0) являє собою диференціальну форму запису відомого закону Ампера, доповнену вектором густини струму зміщення:

Іноді буває зручно виділяти густину стороннього електричного струму J_ст.е. Суму струму заміщення, струму провідності, а також стороннього струму в електродинаміці називають повним струмом.

Друге рівняння системи ( 2 .0) описує закон електромагнітної індукції Фарадея. Два інших рівняння, строго кажучи, залежать від перших двох рівнянь Максвела. З третього рівняння системи ( 2 .0) випливає, що силові лінії електричнойо поля можуть починатися і закінчуватися тільки на електричних зарядах. Четверте рівняння вказує на те, що у вакуумі силові лінії магнітного поля завжди замкнуті (магнітне поле не має джерел).

У присутності матеріальних середовищ теорія Максвела повинна бути доповненою рядом додаткових уявлень, що враховують мікроскопічну структуру речовини. Під дією прикладеного електричного поля Е в середовищі виникає струм провідності з об'ємною густиною

(2.0)

Тут  — питома об'ємна провідність речовини.

Співвідношення ( 2 .0) є диференціальною формою запису закону Ома; пропорційність між J_е і Е в сильних електричних полях може порушуватися.

Молекули або атоми речовини в електричному полі поляризуються, що відображається в теорії введенням векторного поля електричної поляризації Р. Даний вектор у кожній точці характеризує дипольний момент одиниці об'єму речовини. Якщо електромагнітне поле змінюється в часі, то в середовищі виникає електричний струм поляризації з об'ємною густиною

У кожній точці середовища прийнято вводити вектор електричного зміщення (індукції)

(2.0)

У результаті перше рівняння Максвела набуває вигляд

(2.0)

Магнетизм матеріальних середовищ має квантову природу. У рамках класичних уявлень визначають вектор намагніченості М, що є магнітним моментом одиниці об'єму речовини, та вектор магнітної індукції В, зв'язаний із Н та М співвідношенням

Друге рівняння Максвела в матеріальному середовищі має вигляд

(2.0)

Третє і четверте рівняння Максвела записуються так:

	(2.0)
	(2.0)

У лінійному наближенні поляризація і намагніченість пов'язані з напруженостями полів свіввідношеннями:

(2.0)

де  — діелектрична й магнітна сприйнятливості речовини.

На підставі цього матеріальні рівняння електромагнітного поля можна записати у вигляді

(2.0)

Коефіцієнтами пропорційності між напруженостями й індукціями є абсолютна діелектрична проникність та абсолютна магнітна проникність . У розрахунках часто використовують відносні проникності

(2.0)

Співвідношення виду ( 2 .0) справджуються лише за умови, що взаємодія поля та речовини відбувається практично безінерційно.

У НВЧ та оптичному діапазонах доводиться враховувати ефекти, зв'язані з кінцевим часом становлення стану речовини. При цьому можна говорити про діелектричну й магнітну проникності, що залежать від частоти.

Четверте рівняння Максвела свідчить про те, що в природі не існує магнітних зарядів. Проте іноді буває зручно скористатися формальним уявленням про сторонній магнітний струм, густина якого J_ст.м вводять у праву частину другого рівняння Максвела.

Остаточно одержуємо:

рівняння Максвела в диференціальній формі

(2.0)

рівняння Максвела в інтегральній формі

(2.0)

Часто розглядають гармонічні електромагнітні поля, що змінюються в часі за законом з частотою ω. При цьому рівняння Максвела записують відносно комплексних амплітуд полів:

(2.0)

У ці рівняння входять комплексні діелектрична , і магнітна проникності:

Наявність уявних частин проникності вказує на незворотне перетворення частини енергії електромагнітного поля в енергію теплового руху. Виділення тепла може відбуватися як за рахунок струмів провідності, так і за рахунок внутрішнього тертя, що супроводжує процеси поляризації й перемагнічування. Якщо втрати в середовищі зв'язані тільки з наявністю струмів провідності, то

У техніці різні речовини прийнято характеризувати за допомогою тангенсів кутів діелектричних і магнітних втрат:

(2.0)

На границі розділу двох матеріальних середовищ із різними електричними параметрами вектори поля повинні задовольняти визначеним граничним умовам. Кожний з векторів (наприклад, Е) у точці границі прийнято розкладати на нормальну й тангенціальну (дотичну) складові:

(  — орти нормального і тангенціального напрямків відповідно).

Нормальні складові індукцій і тангенціальні складові напруженостей неперервні в кожній точці границі розділу:

(2.0)

Якщо одне з середовищ є ідеально провідний метал, для якого тангенціальна,поверхні тангенціальна складова електричного вектора відсутня:

(2.0)

На поверхні металу присутній електричний струм з поверхневою густиною

(2.0)

Електромагнітне поле є носієм енергії. Об'ємна густина енергії в будь-якій точці простору

(2.0)

Закон збереження енергії знаходить своє відображення в теоремі Пойнтинга:

(2.0)

Вектор Пойнтинга

(2.0)

характеризує густину потоку потужності випромінювання.

Для полів, що змінюються в часі за гармонічним законом, прийнято вводити комплексний вектор Пойнтинга

(2.0)

Дійсна частина цього вектора

(2.0)

дорівнює середньому за період потоку потужності випромінювання.

З рівнянь Максвела випливає ряд додаткових співвідношень, яким повинні задовольняти електромагнітні поля. Так, якщо система сторонніх джерел збуджує в просторі електромагнітний процес , у той час як системі відповідають поля , то справедлива рівність

(2.0)

що зветься лемою Лоренца.