1.2. Давление идеального газа

Давление в сосуде с газом создается ударами молекул о его стенку. Будем считать удары абсолютно упругими. Сначала рассмотрим удар одной молекулы (см. рис. 1.2). Ось, перпендикулярную стенке, обозначим за х.

стенка при ударе о нее молекулы испытывает зависящую от времени силу F_х(t), которая направлена по оси х и при этом изменяется от нуля до некоторой максимальной величины в момент наиболее сильного контакта молекулы со стенкой и спадает опять до нуля после столкновения (см. рис. 1.3).

Рис. 1.2.	Рис. 1.3

Выберем некоторый интервал времени Т, который существенно превышает длительность столкновения и рассчитаем среднюю действующую в интервале от 0 до Т силу. Эта средняя сила определяется интегралом

Записав второй закон Ньютона в виде

для среднего значения получим выражение

Выберем теперь на стенке сосуда некоторую площадку S и учтем, что молекул много. Тогда имеем сумму

(1.6)

где индекс i нумерует все молекулы, налетающие за время T на площадку S.

Проблема вычисления суммы (1.6) состоит в том, что от молекулы к молекуле проекции скорости v_x хаотически меняются. Эту проблему можно решить, если разбить все молекулы на подансамбли молекул, обладающие близкими значениями проекций скорости v_x. Иными словами, из всех молекул, налетающих за время T на площадь S, выберем только те, которые имеют скорость в интервале от v_x до v_x.+ dv_x. Число таких молекул обозначим через dN(v_x, T, S). Так как молекулы данного подансамбля подлетают к стенке из примыкающего к ней объема величины то для dN(v_x, T, S) имеем

(1.7)

где n – введенная в (1.3) плотность. Разбиение на подансамбли позволяет рассматривать v_x как непрерывную переменную и перейти в (1.6) от суммирования к интегрированию. Одним словом, вместо (1.6) теперь записываем

из этого выражения, используя (1.5), получим

(1.8)

(Коэффициент 2 исчезает, потому что положительные значения скорости v_x имеет только половина молекул). Давление на стенку определяется средней силой, действующей на единицу площади. из (1.8) получаем

(1.9)

Далее, по теореме Пифагора имеем

(1.10)

а из условия равной вероятности всех направлений следует

(1.11)

Поэтому вместо (1.9) для давления можно написать

(1.12)

Таким образом, давление пропорционально плотности газа и средней кинетической энергии молекул.

1.3. Температура и кинетическая энергия

_{Как известно из механики, движение двух частиц с массами m1 и m2 (см. рис. 1.4) можно разложить на движение их общего центра масс со скоростью}

_(1.13)

_{и относительное движение частиц со скоростью}

_(1.14)

Скорости частиц выражаются через скорости следующим образом:

(1.15)

где

(4.16)

есть скорости движения в системе центра масс, есть приведенная масса. Отметим, что в системе центра масс суммарный импульс или

Рис. 1.4.

Пусть две частицы в ходе движения сталкиваются. Скорости после столкновения обозначим как и в лабораторной системе координат, и , в системе центра масс. Согласно закону сохранения импульса скорость движения системы центра масс при столкновении частиц не изменится, суммарный импульс в этой системе отсчета останется равным нулю, т. е. . С другой стороны, из закона сохранения энергии следует, что кинетическая энергия частиц до столкновения должна равняться кинетической энергии после столкновения, Отсюда сразу заключаем, что абсолютные значения импульсов частиц в результате столкновения не меняются (могут измениться только их направления).

В случае одномерного движения вдоль некоторого направления – пусть им будет ось х – этот результат означает, что

(1.17)

Тогда с использованием (1.15) для лабораторной системы имеем

(1.18)

Теперь рассмотрим сосуд с газом, разделенный подвижной перегородкой (поршнем) (см. рис. 1.5). Поршень способен без трения перемещаться в направлении х.

Рис. 1.5.

Массу молекулы газа обозначим через m, массу поршня через М, скорость некоторой выбранной молекулы вдоль направления х обозначим через v_x, скорость поршня в некоторый момент времени обозначим через V. Рассмотрим столкновение выбранной молекулы с поршнем. Скорости после соударения, как и в предыдущем случае, будем обозначать соответствующими величинами со штрихами. Так как эта задача одномерная, здесь можно воспользоваться результатами (1.18). Возведем обе части второго из уравнений (1.18) в квадрат, приведем к общему знаменателю и, используя новые обозначения, получим

(1.19)

Усредним теперь обе части равенства (1.19) по всем молекулам в системе. В условиях равновесия средние значения скорости поршня до соударения и после должны быть одинаковы, Действительно, моменты времени до соударения с некоторой конкретной молекулой и после него ничем не выделены. Далее, так как движение поршня при большом количестве соударений с разными молекулами и движение конкретной молекулы не коррелируют между собой, то среднее значение произведения распадается на произведение средних значений Поршень в равновесии не сдвигается ни вправо ни влево, то есть равно нулю. Тогда из (1.19) получаем

Отсюда сразу следует, что Это означает равенство средней кинетической энергии молекул и поршня:

(1.20)

(с учетом (1.10)).

пусть теперь поршень разделяет смесь двух газов слева и справа, массы молекул одного и другого газа m₁ и m₂. Для этой системы справедливы все проведенные выше рассуждения. Тогда

(1.21)

Таким образом, средние энергии молекул обоих типов равны между собой.

Пусть теперь слева и справа у нас разные газы. Все проведенные выше рассуждения остаются опять справедливыми, и равенство (1.21) здесь также будет иметь место.

Мы видим, что при контакте двух разных газов средние кинетические энергии их молекул оказываются одинаковыми. Из опыта известно, что при контакте тел у них выравниваются температуры. Поэтому введем температуру следующим образом:

(1.22)

где k = 1,38∙10⁻¹⁶ эрг/град – постоянная Больцмана. Численное ее значение оказывается таким, чтобы разница температур замерзания и кипения воды равнялась 100 градусам. Подчеркнем, что возможность связать температуру с кинетической энергией появляется именно в силу доказанного нами соотношения (1.22). Отметим, что в этом доказательстве мы использовали только законы механики и принцип молекулярного хаоса.

Связанная с (1.22) шкала температур называется шкалой Кельвина, температура в ней указывается в градусах Кельвина. Она связана с температурой в известной шкале Цельсия соотношением

Полный нуль температуры в шкале Кельвина соответствует полному вымораживанию движений.

Из (1.11) и (1.22) следует, что средние кинетические энергии движения вдоль разных осей есть

(1.23)