8 Эллипс (определение, координаты фокусов, расстояния от точки до фокусов)

 Эллипс - это геометрическая фигура, которая ограничена кривой, заданной уравнением  .

О н имеет два фокуса. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

 

F₁ , F₂ – фокусы . F₁ = ( c ; 0); F ₂ (- c ; 0)

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.

12 Парабола (определение, координаты фокуса, расстояния от точки до фокуса)

Парабола есть геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние от некоторой фиксированной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой прямой, называемой директрисой (директриса не проходит через фокус).

В ыберем систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через точку фокуса F перпендикулярно директрисе L, начало координат расположим в середине отрезка FN (рис. 11).

Расстояние между фокусом F и директрисой L

обозначим р. Значение р называют параметром параболы.

Пусть M(x, y) - текущая точка параболы, тогда, по определению параболы имеем   или   отсюда получаем - каноническое уравнением параболы.(11.13)

Вершина параболы находится в начале координат, и кривая симметрична относительно оси Ох (рис. 11).

13 Исследование формы параболы по ее каноническому уравнению

1 . В уравнении (11.13) переменная у входит в четной степени, значит, парабола симметрична относительно оси Ох; ось Ох является осью сим­метрии параболы.

2. Так как р > 0, то из (11.13) следует, что  . Следовательно, парабола рас­положена справа от оси Оу.

3. При х=0 имеем y=0.

Следователь­но,  парабола проходит через начало коор­динат.

  4. При неограниченном возрастании х модуль у также неограниченно возраста­ет. Парабола   имеет вид (фор­му), изображенный на рисунке 39. Точ­ка O(0; 0) называется вершиной параболы, отрезок FM =r называется фокальным радиусом точки М.

Уравнения у2 = —2рх, х2 = 2ру, х2 = -2ру (р > 0) также определяют параболы, они изображены на рисунке 40.

 

      

Нетрудно показать, что график квадратного трехчлена   , где   , В и С любые действительные числа, представляет собой параболу в смысле приведенного выше ее определения.

14.Эксцентриситет эллипса и гиперболы.

1. Эксцентриситет эллипса.

Определение. называется отношение c ⁄ a, где с — половина расстояния между фокусами, а — большая полуось эллипса.

Э ксцентриситет обозначают буквой ε: ε = c⁄ a. Так как ε = с ⁄ a, то 0 ≤ ε ≤ 1. Принимая во внимание, что :

Получим:

Из последнего равенства легко получается геометрическое истолкование эксцентриситета эллипса. При очень малом ε числа а и b почти равны, т.е. эллипс близок к окружности. Если же ε близко к единице, то число b весьма мало по сравнению с числом а и эллипс сильно вытянут вдоль большой оси. Таким образом, эксцентриситет эллипса характеризует меру вытянутости эллипса. Соотношения для фокальных радиусов для эллипса примут вид