Упражнения и задачи к теме "Проверка выполнимости условий Гаусса-Маркова"

1. Пусть зависимость переменной от переменной имеет вид: . Известно, что в любом наблюдении , , .

a) Доказать, что

,

где – оценка коэффициента , полученная обычным МНК.

b) Какое преобразование можно использовать, чтобы получить несмещенные и эффективные оценки коэффициентов регрессии?

2. Пусть зависимость ежемесячных расходов на транспорт ( ) от дохода семьи ( ) имеет вид: . Известно также, что в любом наблюдении , , .

a) Доказать, что

,

где – оценка коэффициента , полученная обычным МНК.

b) Какое преобразование можно использовать, чтобы получить несмещенные и эффективные оценки коэффициентов регрессии?

3. Исследуется зависимость объема инвестиций в экономику некоторой страны ( , млн у.е.) от величины ее внутреннего валового продукта ( , млн у.е.). Исходные данные за 1991-2000 годы представлены следующей таблицей:

год	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000
	154,4	199,9	225,5	183,1	215,6	245,5	278,8	257,6	289,9	301,1
	4,01	6,14	9,64	5,96	9,52	8,31	9,08	12,16	15,08	17,68

С помощью МНК было проведено оценивание линейной зависимости переменной от :

1. Выполните графический анализ остатков регрессии.

2. Примените тест ранговой корреляции Спирмена для проверки гипотезы о наличии гетероскедастичности ( =0,05).

4. Имеются данные за 1996-2004 годы по прибыли компании “Бакалкинская сталь” ( , тыс. у.е.) и ее отчислениям на социальные нужды ( , тыс.у.е.):

Год	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004
	27,4	29,9	31,5	30,1	35,6	34,5	38,8	37,6	39,9
	4,21	5,14	7,64	8,96	9,52	8,31	11,08	14,16	18,08

По исходным данным было построено эмпирическое уравнение регрессии:

1. Выполните графический анализ остатков регрессии.

2. Примените тест ранговой корреляции Спирмена для проверки гипотезы о наличии гетероскедастичности( =0,01)..

5. Исследуется линейная зависимость региональных расходов на здравоохранение ( ) от валового регионального продукта ( ) по 33 регионам РФ. При оценивании отдельных линейных регрессий по 11 регионам с наименьшими величинами валового продукта и 11 регионам с наибольшими величинами валового продукта получены следующие остаточные суммы: и . С помощью теста Голдфелда-Квандта проверьте гипотезу о наличии гетероскедастичности на 5%-ом уровне значимости.

6. Пусть по 45 наблюдениям и 2 объясняющим переменным получены следующие результаты: ; и . Используя статистику Дарбина-Уотсона, проверьте гипотезу о наличии автокорреляции первого порядка на 5%-ом уровне значимости.

7. Пусть по 39 наблюдениям и 3 объясняющим переменным получены следующие результаты: и . Используя статистику Дарбина-Уотсона, проверьте гипотезу о наличии автокорреляции первого порядка на 1%-ом уровне значимости.

8. Показать, что статистика Дарбина-Уотсона принимает значения из отрезка .

9. Показать, что коэффициент автокорреляции первого порядка можно приближенно вычислить через статистику Дарбина-Уотсона следующим образом: