1. Обчислення визначених інтегралів за формулою Ньютона – Лейбніца.

Визначений інтеграл обчислюється при допомозі невизначеного інтегралу згідно з формулою (4) і використанням властивостей визначеного інтегралу.

Приклад. Обчислити .

2. Заміна змінної в визначених інтегралах.

Для обчислення визначеного інтегралу можна вводити нову змінну, якщо функція неперервна на , відрізок є множиною значень функції визначеної на відрізку існує неперервна похідна функції на , а також виконується умова тоді

Приклад. Обчислити інтеграл

Розв’язок. Введемо нову змінну , отримаємо

Визначимо нові межі інтегрування: з рівності при отримуємо , а при - Тоді =

3. Інтегрування визначеного інтеграла по частинах.

Для визначеного інтеграла (аналогічно як для невизначеного) справедлива формула інтегрування по частинах:

Іv. Невласні інтеграли.

Визначений інтеграл, розглянутий вище, введений для неперервної функції

на скінченому проміжку . Якщо проміжок інтегрування не скінчений, або підінтегральна функція розривна, то такі інтеграли називаються невласними.

Якщо підінтегральна функція неперервна і скінчена при , то

(5)

Якщо границя в (5) скінченна, то невласний інтеграл називається збіжним, якщо інтеграл (5) не має скінченної границі, то він називається розбіжним.

Геометрично невласний інтеграл являє собою площу криволінійної фігури, обмеженої даною лінією , віссю 0х і прямою х=а (мал.2 ).

Приклади.

1. Знайти невласний інтеграл

Розв’язок.

Даний інтеграл розбіжний.

2. Знайти інтеграл .

Розв’язок. =

Інтеграл збіжний.

V. Наближені обчислення визначеного інтеграла.

Якщо підінтегральна функція задається графічним або табличним способом неможливо застосувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначених інтегралів. В таких випадках використовують методи наближеного інтегрування.

1. Формула прямокутників.

Проміжок інтегрування ділимо на частин точками (мал.3).

Тоді формула прямокутника

.(6)

2. Формула трапецій.

Якщо площі прямокутників (мал.3) замінити площами трапецій, то отримаємо формулу трапецій:

. (7)

VI. Теорема про середнє значення.

Якщо функція неперервна на проміжку , то існує така проміжна точка на , що визначений інтеграл від дорівнює добутку значення цієї функції в точці на довжину відрізка :

(8)

Значення функції називається середнім значенням функції на проміжку .

. (9)

Згідно з властивістю (9)

,

а, значить,

,

де - число, що міститься між найменшим та найбільшим значеннями функції на проміжку . Оскільки на неперервна, то вона обов’язково набуде кожного значення між і . Тому, при деякому , що більше і менше , функція матиме значення

Геометрично поняття середнього значення функції можна показати на мал.4.

Інтеграл дає площу криволінійної трапеції АЕКD. Побудуємо прямокутник АВСD, площа якого дорівнює площі цієї трапеції. Тоді NF , звідки

NF= .

Отже, середнє значення функції дорівнює значенню ординати NF.

Поняття середнього значення функції використовується на практиці, оскільки багато величин характеризуються своїми середніми значеннями, наприклад середня швидкість хімічної реакції, середній тиск і інше.