«Правило 78»

Сумма основного долга выплачивается равными до­лями (в таблице по планированию погашения долга эта графа называется «выплата основного долга»):

180000/36 = 5000 руб.

Сумма процентных денег Рni = 180000 · 0,22 · 3 = 118000 руб. Эта сумма делится на неравные части по периодам следующим образом.

Определяется сумма номеров периодов всех выплат N = 1+2+…+mn. Если n=1, то тогда сумма этих номеров будет равна 78, отсюда и название данного метода. Выплаты в последнем периоде с номером mn будет равна Рni/N. В последнем месяце эта сумма умножается на 2 и т.д.

На практике удобно построить таблицу следующего вида, в которой есть вспомогательный столбец с обрат­ной нумерацией номеров периодов. Сумма номеров пе­риодов равна 666. Найдем последнюю выплату процен­тов: 118000/666 = 175,38 руб. В первом периоде это число умножаем на 36 (получим 6 421,62), во втором - на 35 (6 243,24 и т. д.).

Сумма погашения основного долга составила 180000 руб., а сумма процентов - 118000 руб. То есть экономический эффект остался тем же самым, изменился только ритм выплат.

Таблица 1

Номер	Сумма погашения	Погашение
периода	основного допга	процентов	Коэффициент
1	5000	6421,622	36
2	5000	6243,243	35
3	5000	6064,865	34
4	5000	5886,486	33
...	.. .	.. .
			...
23	5000	2497,297	14
24	5000	2318,919	13
...	. ...	. ...
			. ...
34	5000	535,1351	3
35	5000	356,7568	2
36	5000	178,3784	1
Итого: 666	180000	118000

2. Погашение задолженности частями. Контур финансовой операции

Сбалансированность вложений и отдачи означает, что остаток долга на конец срока должен быть равен нулю.

Пусть ссуда в размере P_o выдана на срок N. На протяжении этого срока в счет погашения задолженности производится, допустим, два платежа: R₁ и R₂, а в кон­це выплачивается остаток задолженности в сумме R₃. Величину последнего платежа R₃ и необходимо определить.

Очевидно, что на интервале n₁ задолженность возра­стает (так как начисляются проценты) до величины P₁. В конце этого периода в счет погашения задолженности выплачивается сумма R₁, долг уменьшается до К₁ и т. д. Заканчивается операция получением кредитором для окончательного расчета суммы R₃. В этот момент задол­женность должна быть равна нулю.

Для погашения долгосрочной задолженности, как правило, составляется план, предусматривающий рав­номерные платежи. В случае краткосрочных обяза­тельств погашение задолженности может происходить различными суммами и через различные промежутки времени. Такую схему расчетов называют погашением задолженности частями.

При погашении задолженности частями существует два несколько различающихся по эффективности мето­да начисления процентов. Это актуарный метод и пра­вило торговца. При выборе метода решается вопрос о том, какую сумму надо брать за базу для расчета про­центов и каким путем определять остаток задолженности. При расчетах оговаривается, какие проценты (точные или обыкновенные) начисляются.

Актуарный метод предполагает последовательное начисление процентов на фактические суммы долга. Частичный платеж идет, в первую очередь, на погаше­ние процентов, начисленных на дату платежа. Если величина платежа превышает сумму начисленных про­центов, то разница идет на погашение основной суммы долга. Непогашенный остаток долга служит базой для начисления процентов в следующий период и т. д. Если же частичный платеж меньше начисленных процентов, то никакие зачеты в сумме долга не делаются. Это по­ступление приплюсовывается к следующему платежу.

Итак, полу­чим следующие расчетные формулы для определения остатка задолженности. Долг P_o за период n₁ возрастет и станет равным P₀(1+in₁). После того, как будет вне­сен платеж R₁, остаток задолженности К₁ будет вычис­лен как:

К₁ = P₀(1 +in₁) - R₁.

Во втором периоде проценты за срок n₂ будут начис­ляться уже на остаток задолженности K₁. Далее анало­гично получим для второго периода:

К₂ = К₁ (1 +in₂) - R₂.

Третий период для нашего примера является после­дним. Необходимо определить размер последнего пла­тежа R₃, исходя из того, что остаток долга на конец третьего периода t₃ должен быть равен нулю‏, К₃=0.

К₃=К₂ (1+in₃) – R₃ =0. .

Следовательно, K₂ (1 + in₃) = R₃.

Таким образом, может быть определена сумма последнего платежа по актуарному методу.

Задача 2. Имеется обязательство погасить (с 1 мар­та 2002 года по 1 апреля 2004 года) долг в сумме 280 тыс. руб. Кредитор согласен получать частичные платежи. Проценты начисляю по ставке 22% годовых.

Частичные поступления характеризуются следую­щими данными:

12 июля 2002 г. - 25 000 руб.;

31 декабря 2002 г. - 56 500 руб.;

31 марта 2003 г. - 15 000 руб.;

1 июня 2003 г. - 28400 руб.;

1 августа 2003 г. - 135 900 руб.;

31 декабря 2003 г. - 4 800 руб.

Определить сумму последнего платежа 1 апреля 2004 года.

Решение: Для расчетов построим таблицу 2.

Сумма долга на начало первого периода составляет 280 000 руб. Продолжительность первого периода (конец период – начало периода) наращения долга 133 дня (в годах 133/365). Долг с процентами определим как 280 000 · (1 + 0,22·133/365) = 302446,03 руб. В столбце «Выплаты» вносим данные о фактических выплатах. В первом периоде - это 25000 руб. Вычитая эту сумму из суммы долга с процентами, получаем остаток долга на конец года 302446,03 - 25000 = 277446,03. Сумма долга на начало второго периода равна сумме долга на конец первого периода. Записав эти формулы расчета, и скопировав их на все периоды, получим в последней строке следующую ситуацию. Пос­ледний период продолжительностью 92 дня закончил­ся 01.04.04 (2004 год високосный), и наращенная сум­ма долга за этот период составила сумму 112041,58 руб. Последняя искомая выплата и составит эту величину, так что остаток долга на конец последнего периода бу­дет равен нулю. Таким образом, сумма вложений и от­дачи оказалась сбалансированной.

Таблица 2

Сумма долга на начало периода	Начало периода	Конец периода	Продолж-сть периода в днях	Долг с процентами	Выплаты	Сумма долга на конец периода
280000,00	01.03.2002	12.07.2002	133	302446,03	25000	277 446,03
277 446,03	12.07.2002	31.12.2002	172	306209,20	56500	249709,20
249709,20	31.12.2002	31.03.2003	90	263255,07	15000	248255,07
248255,07	31.03.2003	01.06.2003	62	257532,33	28400	229132,33
229132,33	01.06.2003	01.08.2003	61	237556,86	135900	101 656,86
101 656,86	01.08.2003	31.12.2003	152	110970,30	4800	106170,30
106170,30	31.12.2003	01.04.2004	92	112041,58	112041,58	0,00
			ИТОГО		377 641,58

Заметим, что сумма всех выплат, включая после­днюю, составила 377641,58 руб. Следовательно, для определения суммы процентных денег необходимо вы­честь из наращенной суммы первоначальную сумму дол­га: 377641,58 - 280000 = 97641,58 руб.

Для сравнения. В потребительском кредите сумма процентов больше (общая продолжительность ссуды 762 день): 280000·(1 + 0,22·762/365) - 280000 = 128601 руб.

Правило торговца. Контур финансовой операции при использовании весьма остроумного способа, который назвали «правило торговца», состоит как бы из двух параллельных контуров. По одному (внешнему конту­ру) происходит наращение суммы долга по формуле про­стых процентов. Одновременно (или несколько позже) создается так называемый погасительный фонд (пога­сительная корзина), формирование которого происхо­дит путем внесения платежей. Это и есть второй кон­тур. Процентная ставка в погасительном фонде может быть одинаковой с процентной ставкой по ссуде, но же­лательно, чтобы она была выше. Затем в конце срока рассчитывают сумму последнего платежа таким обра­зом, чтобы наращенная сумма долга была сбалансиро­вана с наращенной суммой погасительного фонда, вклю­чающего и последний платеж.

R_n = P(1 +in) - ∑R_k(1 +in_k).

где R_n - остаток долга на конец срока, последний платеж; R_k - сумма частичного платежа; п - общий срок ссуды; n_k - интервал времени от момента платежа до конца срока ссуды или года.

Для одних и тех же данных актуарный метод и правило торговца в общем случае дают разные результаты. Сумма последнего платежа, а следовательно, и сумма процентов, при прочих равных условиях при использо­вании правила торговца получается меньше, чем при расчетах актуарным методом.

Задача 3. Для иллюстрации правила торговца возьмем условия предыдущей задачи с той лишь разницей, что кредитор согласен получить полный расчет в конце срока, т. е. 1 апреля 2004 года. Пусть исход­ная сумма долга равна 280000 рублей и процентная ставка 22% годовых. Поступающие по условию зада­чи платежи пойдут на формирование погасительного фонда.

Необходимо определить размер последнего платежа.

Решение:

Определим наращенную сумму долга за весь период:

280000 (1+0,22 · 762/365) = 408601 руб.

Для расчета суммы наращенных платежей погаси­тельного фонда удобно использовать таблицу 3. При вычислении длительности периода начало периода _ это момент платежа, а конец периода - везде одинако­вый, равный дате конца финансовой операции. Так, первый платеж, равный 25000 руб., поступил 12.07.00. Про центы на эту сумму начислены на срок 628 дней, и вместе с платежом составили 34463 руб. Следующий платеж поступил 31.12.00 в сумме 56500 руб. Длитель­ность периода уменьшилась и составила 456 дней (01.04.02 - 31.12.00). Погасительный фонд с процен­тами пополнился на 72029 руб., и так далее. Итого­вая наращенная сумма погасительного фонда на конец периода 01.04.02 года составила 319249 руб.

Таблица 3

Выплаты	Начало	К онец	Длительность	Погасительный
	периода	периода	периода	Фонд с процентами
25000	12.07.02	01.04.04	628	34478
56500	31.12.02	01.04.04	456	72 063
15000	31.03.03	01.04.04	366	18318
28400	01.06.03	01.04.04	304	33621
135900	01.08.03	01.04.04	243	155887
4800	31.12.03	01.04.04	91	5066
		ИТОГО		319433

Определим сумму последней выплаты. Для этого из наращенной суммы долга необходимо вычесть наращенную сумму погасительного фонда: 408601- 319433=89168 руб.

Сумма процентных денег по этому способу: 354768­ - 280000 = 74768 руб. Сравним с суммой последней выплаты (все остальные выплаты одинаковы) по актуарному методу - 2041 руб. Сравнение эффективности финансовых операций, связанных с погашение долга частичными платежами по условиям примера 2 и 3 приведено в таблице 4. Потребительский кредит является самым дорогим. Актуарный метод и правило торговца дают значительно лучшие результаты, но не­обходимо иметь в виду, что правило торговца требует дополнительного условия возврата всей наращенной суммы долга в конце срока.

Таблица 4

	Сумма процентных денег
Наименование метода	(плата за кредит), руб.
Потребительский кредит	128432
Актуарный метод	97641
Правило торговца	7 4768