1.3. Уравнения с разделяющимися переменными в дифференциальной форме

Уравнение в дифференциальной форме (1.2) является уравнением с разделяющимися переменными, если функции М(х,у) и N(x,y)можно представить в виде произведений функций, каждая и которых зависит только от одной переменной, то есть М( x,y)=Q(x)·G(y) и N(x,y)=R(x)·S(y).тогда уравнение (1.2) примет вид

Q(x)·G(y)dx+R(x)·S(y)dy=0,

что позволяет разделить переменные, поделив обе части этого уравне­ния на и

а затем проинтегрировать:

Очевидно, что дополнительными решениями дифференциального уравнения (1.11) могут быть корни х - x_t уравнения R(x) = 0 и корни

уравнения G(y) = 0.

Пример 1.3. Проинтегрировать уравнение xydx + (х +1)dy = 0.

Решение. В заданном уравнении разделим переменные, поде­лив обе его части на х + 1 ≠ 0 и y ≠ 0,

и проинтегрируем:

где , предугадывая выражения неопределенных интегралов в виде логарифмов, в качестве произвольной постоянной взято произвольное число lnC. Так как

... , г

То решение дифференциального уравнения в квадратурах примет вид

Откуда

Или

Освобождаясь, наконец, от логарифмов в последнем соотноше­нии, получим решение дифференциального уравнения в явном виде:

(1.12) Дополнительными решениями исходного дифференциального уравнения являются корни уравнений x+1=0 и y=0, то есть

х=-1 и y=0 .Поскольку решение у = 0 входит в (1.12) при С=0, то все решения заданного дифференциального уравнения описываются совокупностью функций и

Задание 1.3. Найти все решения дифференциальных уравнений:

а) б)

Ответы: a) , х = 0, б) , у=0.

1.4. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение (1.3), разрешенное относительно производной, называется уравнением, приводящимся к уравнению с раз­деляющимися переменными, если переменные х и у входят в функцию (x,y) только в виде линейной комбинации, то есть уравнение (1.3) имеет вид

(1.13)

где а и b - постоянные числа.

С помощью замены переменной z = ax + by (или z= ах + by + с, где с - некоторое число) уравнение (1.13) может быть сведено к урав­нению с разделяющимися переменными.

Пример 1.4. Проинтегрировать дифференциальное уравнение

Решение. Положим z = у - х и, продифференцировав это соот­ношение, найдем z'= у'- 1, откуда у' = z' + 1. Подставив у - х = z и у' - z' +1 в исходное уравнение, получим дифференциальное уравнение c разделяющимися переменными относительно новой искомой функции z=z(x): +1=cosz , или

(1.14)

Разделяя далее переменные, запишем решение этого уравнения в квадратурах:

^{Т ак как и}

то общий интеграл дифференциального уравнения (1.14) получим в виде

Возвращаясь, наконец, к первоначальной переменной у , исполь­зуя сделанную ранее подстановку z = у - х, запишем решение исходно­го дифференциального уравнения в виде общего интеграла

Задание 1.4. Найти решения дифференциальных уравнений: a) ; б)

Ответы: а) х + у = tg(y -C); б)