2.4 Внутренние силовые факторы в поперечных сечениях стержней
Рассмотрим
стержень, на который действует
уравновешенная система сил (рис.
2.3).
Рис. 2.3
М
ысленно
рассечем стержень плоскостью по
некоторому поперечному сечению А и
рассмотрим одну из полученных частей
стержня, например левую (Рис.2.4).
Рис. 2.4
Она находится в равновесии под действием внешних сил, приложенных к этой части стержня, и внутренних сил, действующих со стороны отброшенной части стержня на оставленную для рассмотрения.
Для составления уравнений равновесия выберем прямоугольную систему координат X, Y, Z, связанную с рассматриваемым поперечным сечением. Начало координат поместим в центр тяжести сечения. Ось Z будем направлять по продольной оси стержня, по внешней нормали к сечению. За оси X и Y примем главные центральные оси инерции рассматриваемого сечения. Положительные направления осей X, Y, Z выберем так, как показано на рис. 2.5.
Рис. 2.5
Обозначим
главный вектор внутренних сил в данном
поперечном сечении стержня
,
а их главный момент относительно центра
.
Проекции
главного вектора внутренних сил
и проекция главного момента внутренних
сил на оси X,
Y,
Z
называют внутренними силовыми факторами
(ВСФ) в данном поперечном сечении стержня.
Для ВСФ приняты следующие наименования:
-
поперечные силы,
- продольная сила;
(или
)
- изгибающие моменты,
- крутящий момент.
2.5 Уравнения внутренних силовых факторов
В общем случае ВСФ изменяются по длине стержня, т.е. в разных сечениях они могут иметь различную величину. Чтобы составить уравнения, показывающие как зависит ВСФ от положения сечения, необходимо выполнить следующие операции.
1. Определить, на сколько участков делится стержень внешними нагрузками.
Участком называется часть стержня, на протяжении которой к стержню не приложены сосредоточенные нагрузки, а интенсивность погонной нагрузки может быть задана аналитически одним уравнением. Границами участков являются концевые сечения стержня, сечения, в которых приложены сосредоточенные нагрузки, в которых скачками изменяется интенсивность погонной нагрузки, и те сечения, в которых изменяется характер зависимости интенсивности погонной нагрузки от абсциссы сечения. Например, стержень (рис. 2.6) делится приложенными нагрузками на семь участков.
Рис. 2.6
2. Задать положение произвольного сечения рассматриваемого участка. Указать положение произвольного сечения участка в выбранной системе координат нельзя, так как ее начало как раз находится в центре тяжести этого произвольного сечения.
3. Положение произвольного сечения данного участка задают его абсциссой u. Ось абсцисс U направляют по оси стержня. Положительное направление оси U совпадает с положительным направлением оси Z.
Начало
отсчета на оси U
совмещают с одной из границ участков,
имеющихся на оставленной для рассмотрения
части стержня. Для каждого участка,
составляя уравнения ВСФ, будем указывать
с помощью индекса, соответствующего
номеру участка, абсциссы произвольного
сечения участка:
-
абсцисса произвольного сечения i-го
участка.
В зависимости от того, где выбрано начало отсчета , пределы изменения для данного участка будут различными. При составлении уравнений ВСФ необходимо указывать пределы изменения абсцисс произвольного сечения рассматриваемого участка при выбранном начале отсчета.
4. Определить ВСФ в произвольном сечении рассматриваемого участка.
В
результате этой операции ВСФ будут
выражены как функции
.
Удобно обозначить эти функции
и т.д. В ряде случаев абсциссу «u»
обозначают буквой z.
Тогда функции сил и моментов обозначают
как
и т.п.
Имея эти функции, можно определить численные значения ВСФ в любом поперечном сечении стержня. Для этого необходимо в уравнение ВСФ того участка, которому принадлежит рассматриваемое сечение, подставить численное значение абсциссы данного сечения.