3.2. Деформированное состояние в точке упругого тела

Произвольная точка тела после деформирования занимает по отношению к неподвижной системе координат новое положение, характеризующееся радиусом – вектором. Если перемещение точек в направлении осей обозначить

то в силу гипотезы оплошности материала тела, они будут непрерывными функциями координат:

(3.18)

Доказано [ 7 ], что деформированное состояние в каждой точке упругого тела характеризуется изменением длин отрезков, проходящих через эту точку, линейными деформациями и изменением углов между отрезками – угловыми деформациями.

Относительная линейная деформация в произвольном направлении, характеризующемся нормалью с направляющими косинусами , определяется из уравнения [ 7 ]

(3.19)

В уравнение (3.19) введем следующие соотношения [ 7 ]:

(3.20)

Формулы (3.20) называют формулами Коши. Три первые из них определяют относительные линейные деформации , через перемещения последние – относительные угловые деформации.

Показано [7], что в некоторых направлениях, называемых главными направлениями, линейные деформации принимают экстремальные значения, которые обозначают

(3.21)

В площадках, перпендикулярных к этим главным деформациям, углы между двумя направлениями не искажаются.

Если известны главные деформации , то линейная деформация в любом направлении, определяемом направляющими косинусами и искажение пря-мого угла между направлениями ( ) и ( ) выражаются формулами [ 7 ]:

(3.22)

Деформированное состояние характеризуется тензором деформаций

Известно [7], что . Поэтому тензор деформаций

(3.23)

является тензором второго ранга, симметричным относительно главной диагонали, что позволяет при анализе деформированного состояния сделать ряд важных выводов.

Главные деформации отыскивают из решения характеристического уравнения

(3.24)

В уравнении (3.24) введены следующие обозначения:

(3.25)

- первый инвариант деформированного состояния

(3.26)

• второй инвариант деформированного состояния;

(3.27)

- третий инвариант деформированного состояния.

Составляющие тензора зависят от направления координатных осей, но выражения (3.2) − (3.27) не изменяются при повороте координатных осей, поэтому и называются инвариантами.

Известно, что - всегда вещественные корни уравнения (3.24).

Как и при напряженном, при деформированном состоянии анализ уравнения (3.24) при определенных значениях приводит к частным случаям:

а) плоскому (двухосному),

б) линейному (одноосному).

Основные соотношения деформаций в каждом из частных деформированных состояний определены и приводятся, например, в [ 7 ].

Деформации должны удовлетворять следующим соотношениям:

(3.28)

Эти зависимости называют условиями Сен-Венана (условиями совместности деформаций). Их геометрический смысл состоит в следующем. Предположим, что тело в начальном состоянии разложено на элементарные параллелепипеды. Деформации ребер и углов каждого элемента должны удовлетворять условиям (3.28), иначе из деформированных элементов нельзя составить сплошного (неразрывного) деформированного тела.