Подсчитаем значение частоты

.

Амплитуда колебаний

.

Проанализируем теперь вопрос о вынужденных колебаниях этой системы в случае, когда частота возмущающей силы совпадает с частотой собственных колебаний. Такое совпадение частот называют резонансом.

Пусть

.

Соотношение (7.2) приводит к выражению

,

после преобразований

.

Второе слагаемое в скобках полученного уравнения колебаний неограниченно растет с течением времени.

Найдем амплитуду колебаний через 3 с после начала движения, отбрасывая при этом первое слагаемое в скобках, как значительно меньшее, чем второе:

.

Таким образом, уже через такой небольшой промежуток времени амплитуда почти в 100 раз превышает амплитуду нерезонансных колебаний.

Рассмотрим колебания балки, вызванные падением на нее груза массой с высоты (рис.7.6).Предположим, что после удара груз мгновенно присоединяется к балке.

Рис. 7.6

Дано:

поперечное сечение -

швеллер № 5, .

Начальное смещение сечения считаем рав­ным нулю: . Начальная скорость движения

равна скорости падения груза в момент касания балки:

.Возмущающая сила (рис. 7.7).

С учетом сказанного формула (7.2) преобразуется

к виду

Рис. 7.7

После интегрирования получим

,

или

,

где - сдвиг фаз.

Найдем частоту свободных колебаний систе-

мы, для чего вычислим предварительно .

Рис. 7.8

.

Найдем постоянные из граничных условий.

1) , 2) ,

3) ,

4) ,

.

Тогда прогиб

,

а частота собственных колебаний

.

Определим амплитуду колебаний относительно положения равновесия, соответ-ствующего прогибу :

.

В заключение отметим, что расчет продольных и крутильных колебаний может быть выполнен аналогично рассмотренным расчетам поперечных колебаний, пос-кольку все они описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями.

Так, для крутильных колебаний математической моделью является уравнение , а для продольных – .

2. Колебания систем с бесконечным числом степеней свободы

Примером стержневой системы с бесконечным числом степеней свободы может служить любая упругая система с распределенной массой. Такие системы целесооб-разно разбить на две группы: системы, совершающие продольные или крутильные колебания, и системы, совершающие поперечные колебания.

Продольные и крутильные колебания

Продольные и крутильные свободные колебания стержней описываются подоб-ными дифференциальными уравнениями. Для продольных колебаний стержней с постоянным поперечным сечением

, (7.3)

где ; - модуль Юнга; - масса единицы объема.

Для крутильных колебаний

, (7.4)

где ; - модуль сдвига; - полярный момент инерции поперечного се-чения; - момент инерции единицы длины стержня.

Поскольку с математической точки зрения уравнения продольных колебаний (7.3) и крутильных (7.4) аналогичны, то и в дальнейшем будем рассматривать лишь одно из них, например уравнение продольных колебаний. Решение может быть получено методом Фурье:

, (7.5)

где - собственные формы прогибов, - собственные значения частот возмущающей силы, .

Постоянные должны находиться из граничных и начальных условий:

. (7.6)

Рассмотрим свободные продольные колебания стержня (рис. 7.9), вызванные предварительным смещением его правого свободного конца на величину .

Рис. 7.9

Из граничных условий

Поскольку не может равняться нулю, то

.