8. Вычисление перемещений и напряжений при динамических нагрузках

В инженерной практике достаточно часто встречаются случаи действия на элементы сооружений, машин и приборов интенсивных инерционных и кратковременных нагрузок. В таких ситуациях нельзя ограничиться нахождением решений задач в статической постановке и приходится рассматривать собственно динамические нагрузки. Однако расчет элементов конструкций при динамическом нагружении содержит много трудностей и, как правило, отличается большой сложностью. Ниже будут рассмотрены простейшие приемы расчета, причём основное внимание будет уделено определению перемещений и напряжений, возникающих от действия импульсивных (ударных) и инерционных нагрузок.

8.1 Напряжения и перемещения при импульсивном нагружении конструкций

Нагружение является импульсивным, если действующие на тело внешние факторы (поверхностные или объемные силы, температура, облучение и др.) характеризуются внезапностью приложения и кратковременностью действия (микро- и наносекунды). Причем интенсивность внешних факторов достаточно велика, чтобы произвести разрушение и большие необратимые изменения в теле, на которое они действуют. Импульсное нагружение имеет место при взрыве и ударе. Возмущения, вызванные в теле этим видом нагружение, распространяются с конечной скоростью, образуя области, в которых тело находится в напряженном и деформированном состоянии.

При изучении поведения упругого тела под действием импульсивной (ударной) нагрузки примем следующие допущения:

1) в ударяемой конструкции возникают напряжения, не превышающие предел пропорциональности материала, и закон Гука при ударе сохраняет свою силу;

2) удар является неупругим, и после удара тела не отделяются друг от друга;

3) ударяющее тело является абсолютно жестким и не деформируется ;

4) силы сопротивления движению равны нулю;

5) масса ударяющей конструкции мала по сравнению с массой ударяемого тела и в расчет не принимается.

Поскольку всякий удар вызывает колебательный процесс в упругом теле, рассмотрим колебания упругой системы (с одной степенью свободы). Дифференциальное уравнение движения линейной системы без учета сил сопротивления имеет вид

, (8.1)

где

, (8.2)

, (8.3)

- перемещение из положения равновесия в направлении оси "Y" (рис. 8.1), - круговая частота колебаний, m - масса тела, P(t) – внешняя возмущающая сила, - перемеще-ние точки z = a под действием единичной силы, g - ускорение свободного падения, V_СТ. – перемещение точки z = a при стати-ческом приложении силы mg.

Т очками в уравнении (8.1) обозначено дифференцирование по времени t .

Решение уравнения (8.1) может быть получено методом Коши:

, (8.4)

где - перемещение и скорость в начальный момент времени t = 0.

Если удар представляет собой мгновенное присоединение в некоторой точке z = a сосредоточенной массы m, имеющей первоначальную скорость , то f(t) = 0, V₀ = 0, и движение системы будет происходить по закону

.

Перемещение V(t) достигнет максимального значения в некоторый момент времени t₁ , когда :

, (8.5)

где круговая частота колебаний определяется в соответствии с выражением (8.2).

Если в точке z = a в начальный момент времени t = 0 приложена постоянная сила P = mg, то после подстановок

. (8.6)

Примем начальные условия в виде . Такой случай имеет место при падении тела на конструкцию с высоты H , когда .

Выполнив подстановку

в уравнение (8.6), получим , (8.7)

где - фазовый угол; А – амплитуда.

При таком ударном нагружении прогиб достигает максимального значения в моменты времени t = t₁ , когда :

или , (8.8)

где - перемещение точки z = a при динамическом приложении силы P; К_g – коэффициент динамичности.

В силу принятых допущений динамические напряжения , возникающие в конструкции, определяются как

, (8.9)

где - напряжения от действия статически приложенной силы Р .

Если ударная нагрузка создается внезапным приложением в некоторой точке z = a сосредоточенной массы m , то из (8.8) и (8.9) при H = 0 следует

. (8.10)

Имея в виду, что в выражении (8.8) , получим еще одно выражение коэффициента динамичности:

, (8.11)

где - энергия ударяющего тела к моменту начала удара; - потенциальная энергия упругой системы при статическом приложении силы Р.

Зависимости (8.8), (8.9) и (8.11) могут быть использованы для решения задач при продольном растягивающем или сжимающем, а также поперечном ударе тела по стержню, при встречном ударе тел, двигающихся с некоторой скоростью, при определении напряжений и перемещений в цилиндре, нагруженном внешним или внутренним импульсивным давлением, и др.

Определенный интерес представляет задача о действии так называемого "скручивающего удара". Этот вид нагружения стержней динамической нагрузкой встречается во всех механизмах, содержащих систему "маховик-вал-муфта-тормоз" при резком торможении вала. Угол закручивания и касательные напряжения ,

возникающие в вале, определяют при помощи зависимостей, аналогичных (8.8) и (8.9):

, (8.12)

где - угол закручивания и касательные напряжения при статическом нагружении вала.

Коэффициент динамичности определим при помощи выражения (8.11), имея в виду, что , а :

, (8.13)

где I_M – момент инерции массы маховика; n - угловая скорость; - крутящий момент, при статическом нагружении вала.

В заключение отметим, что зависимости (8.8), (8.9) и (8.10) дают погрешность, не превышающую 10 %, если и . Пределы примени-мости указанных соотношений можно расширить, если учесть при расчете массу ударяемой конструкции и определить коэффициент динамичности по формуле

, (8.14)

где  - коэффициент приведения массы ударяемой системы к точке удара:

, (8.15)

m*, *, F* и l – соответственно масса, плотность материала, площадь поперечного сечения и длина ударяемой системы; - уравнение перемещений, вызванных статическим действием силы, равной весу падающего груза и приложенной в точке удара.

Из сравнения формул (8.8), (8.11) и (8.14) следует, что учет собственной массы ударяемой конструкции приводит к уменьшению величины , т.е. к снижению эффекта удара.