4.2. Основные экономические характеристики производственных функций

Производственные функции как результат обобщения опыта, прямых наблюдений и экспериментов в землеустроительной практике служат концентрированным источником исходной информации; можно выделить три основных класса задач, в которых целесообразно их использовать:

• задачи прогнозирования, в которых граничные условия либо вообще не задаются в явном виде, либо играют чисто номинальную роль (определяют область допустимых значений аргументов функции регрессии);

• оптимизационные задачи, в которых эти условия играют активную роль факторов, формирующих облик оптимального решения;

• задачи экономического анализа состояния и использования земель, изучения других процессов, существенных для землеустройства.

На первый взгляд к самостоятельному классу относятся оптимизационные задачи, в которых оптимальное решение находится в виде экстремума производственной функции внутри области допустимых значений аргументов однако в действительности в сложных задачах факт нахождения экстремума внутри области допустимых значений устанавливается после его отыскания, и, следовательно, такие задачи — частный случай задач второго из названных классов.

В приводимых ниже определениях предполагается заданной функциональная зависимость результатов производства от ряда факторов причем эта функция имеет первые производные по всем аргументам. Рассматриваемые характеристики имеют по преимуществу экономический смысл, и соответственно основная область их применения — анализ влияния различных факторов на эффективность производства. На микроэкономическом уровне в качестве анализируемого результата производства могут выступать как обобщенные экономические показатели (валовой продукт, чистый доход и т.п.), так и частные (урожайность конкретной культуры, стоимость продукции растениеводства и т. д.). Далее в данном разделе величина у, как правило, называется показателем эффективности производства или просто показателем эффективности.

Дополнительный продукт фактора х (или иначе предельная производительность) определяется частной производной:

(4.12)

причем все остальные факторы считаются постоянными.

По самому смыслу производной она характеризует скорость (темп) изменения показателя эффективности «в данной точке» при изменении i-го фактора и заданных значениях других производственных факторов. Приближенно равна приросту Δу продукции за счет увеличения i-го фактора на единицу ( ).

Если известен дополнительный продукт i-го фактора, то при малых приращениях новoе значение показателя эффективности может быть оценено по формуле:

(4.13)

Эта формула «предсказывает» линейное изменение показателя эффективности при изменении данного фактора, что в общем случае верно лишь при небольших значениях . Исключение составляет случай линейной зависимости показателя эффективности от фактора . Например, если, однофакторная производственная функция линейна: , то формула (4.13), с учетом того что

(4.14)

справедлива при любых значениях . В других случаях оценка изменения у по формуле (4.13) при больших значениях может приводить к неприемлемо большим погрешностям.

Если известно, что рассматриваемый показатель эффективности у достигает максимума внутри области допустимых значений производственных факторов , то максимальное значение у и соответствующие ему оптимальные значения фактора могут быть определены путем решения системы уравнений:

, (4.15)

где зависимости предельных продуктов от производственных факторов определяются по формуле (4.12) при заданной зависимости .

Средняя производительность

П =у/х (4.16)

отражает средний темп изменения показателя эффективности при увеличении i-го фактора в диапазоне от нуля до заданного значения .

Если под у понимать не показатель эффективности производства, а производственные затраты на выпуск продукции, то рассматриваемое отношение следует интерпретировать как себестоимость единицы продукции.

Если у(х) — линейная функция, , в которой величина интерпретируется как постоянная составляющая затрат, а коэффициент регрессии — как текущий расход на единицу продукции, то себестоимость единицы продукции, рассчитанная по формуле (10.3), будет убывать с ростом производства за счет уменьшения доли постоянных расходов по сравнению с переменной составляющей .

Коэффициент эластичности

, (4.17)

характеризует относительное изменение результата производства на единицу относительного изменения i-го производственного фактора.

Численно он равен отношению дополнительного продукта данного фактора (предельной производительности) к средней производительности: 

(4.18)

Приближенно коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется результат производства при изменении i-го фактора на 1 % при неизменной величине других факторов.

Предельная норма заменяемости может рассчитываться, когда число факторов более единицы.

Здесь необходимо ввести новое понятие — изокванты производственной функции. В общем случае она определяется как поверхность в K-мерном пространстве производственных факторов , на которой показатель эффективности производства постоянен; таким образом, уравнение изокванты имеет вид .

Если число факторов равно двум (или когда при К>2 анализируются только два фактора i, j), то геометрически изокванта может быть изображена как линия на плоскости ( ). Задавая различные значения константы в уравнении (4.18), можно получить набор изоквант.

Рассмотрим ситуацию, когда все факторы, за исключением двух указанных, фиксированы. В этом случае дифференциал (приращение) у определяется соотношением

(4.19)

На изокванте ( ) приращение , по определению, должно быть равно нулю; следовательно,

(4.20)

Преобразовывая это неравенство, получим

, (4.21)

где

. (4.22)

Величина называется предельной нормой заменяемости фактора фактором . Смысл этого названия раскрывается следующей приближенной экономической интерпретацией соотношения (4.21):

• для сохранения заданного уровня производства в случае изменения фактора на единицу ( ) изменение фактора должно быть равно предельной норме заменяемости .

Из (4.21) следует, что для любой пары факторов норма заменяемости фактора фактором связана с нормой заменяемости фактора фактором соотношением

. (4.23)

Если связь обоих факторов с результатом такова, что их изменение действует на у в одном направлении (например, рост как так и либо увеличивает, либо уменьшает у), иначе говоря, дополнительные продукты по обоим факторам имеют одинаковый знак, норма заменяемости будет отрицательной. Это значит, что для сохранения постоянного уровня у уменьшение одного фактора должно компенсироваться ростом другого фактора и обратно— при увеличении одного фактора допустимо уменьшение другого. Это «естественное» поведение зависимостей при правильной организации производства, если оба фактора имеют характер ресурсов.

Формулы для расчета экономических характеристик некоторых однофакторных производственных функций приведены в таблице 4.1.

Таблица 4.1– Формулы для расчета экономических характеристик некоторых однофакторных производственных функций

Тип производственной функции	Вид уравнения	Дополнительный продукт (предельная производительность)	Средняя производительность	Коэффициент эластичности
Линейная
Степенная
Гиперболическая
Параболи-ческая	+
Кинетическая
Асимптотического роста	·	·

Формулы для расчета предельных норм заменяемости для некоторых двухфакторных производственных функций приведены в таблице 4.2.

Таблица 4.2– Формулы для расчета предельных норм заменяемости для некоторых двухфакторных производственных функций

Тип производственной функции	Вид уравнения	Предельная норма заменяемости фактора на фактор
Линейная
Кобба-Дугласа
Кинетическая
Асимптотического роста	·

В противном случае (дополнительные продукты и имеют разные знаки) предельная норма заменяемости положительна, и, следовательно, для сохранения заданного уровня у рост одного фактора должен сопровождаться ростом другого. Если оба фактора являются ресурсами, то положительная норма заменяемости может свидетельствовать либо о грубых нарушениях в организации производства, либо об ошибках в построении производственной функции, например вследствие неверной статистической обработки выборки при построении уравнения регрессии (на это утверждение также распространяется отмеченное выше исключение). Если же один из факторов — ресурс, а другой количественно характеризует некоторый негативный эффект, например эродированность пашни, то положительная норма заменяемости свидетельствует о «правильном характере» производственной функции. В этом случае увеличение негативного эффекта и должно компенсироваться ростом затрачиваемых ресурсов. Характер изоквант при этом будет представлять «возрастающие» линии в плоскости .

Помимо изоквант в практике экономического анализа используют другие линии — изоклинали. Последние имеют определенный смысл только в том случае, если предельная норма заменяемости является переменной величиной.

В плоскости ( ) изоклиналь определяется уравнением

, (4.24)

при фиксированных , .

Таким образом, изоклиналь – это геометрическое место точек в плоскости ( )), в пределах которого норма заменяемости факторов и постоянна. Меняя константу в уравнении (4.24), можно получить набор изоклиналей.

Производственные функции в землеустройстве применяют для решения следующих задач:

• анализа состояния использования земель;

• установление оптимальной интенсивности использования земли на перспективу;

• экономического обоснования решений по укрупнению и разукрупнению хозяйств;

• прогнозированию значений результативных показателей;

• разработки экономических и технических нормативов;

• решения землеустроительных задач исследовательского характера.

Контрольные вопросы

1. Производственные функции.

2. Виды представления производственных функций.