Индивидуальные задания

Каждый студент выполняет три индивидуальных задания.

За основу берется последняя цифра порядкового номера по ведомости N. По ней определяются варианты выполняемых заданий:

(N mod 10), 10+(N mod 10) и 20+N.

При выполнении заданий обязательно использование функций высших порядков без прямого применения рекурсии и методов процедурного программирования.

1. Удалить все последние элементы подсписков.

2. Удалить все n-е элементы подсписков.

3. Вставить obj после n-ых элементов каждого подсписка.

4. Проверить, является ли obj n-ым элементом каждого подсписка.

5. Удалить все элементы большие по модулю числа S.

6. Проверить, все ли подсписки имеют длину больше m.

7. Дан список произвольной вложенности. Найти сумму всех его элементов-чисел.

8. Проверить, есть ли хоть один подсписок, все элементы которого отрицательные.

9. Проверить, у всех ли его подсписков есть хотя бы один отрицательный элемент.

10. Проверить, является ли матрица магическим квадратом (Суммы по всем столбцам, строкам и главным диагоналям равны)

11. Сложить матрицы A и B размера M x N.

C_ij=A_ij+ B_ij.

12. Умножить матрицу A размера M x N на вектор B длины N.

13. Умножить матрицу A размера M x N на матрицу B размера N x K.

14. Вычислить определитель матрицы A размера N x N:

,

где - это (N-1) x (N-1) – матрица, получаемая из вычеркиванием первой строки и j- го столбца.

Пример.

15. Вычислить обратную матрицу по аналитической формуле (метод Крамера):

,

где i - номер строки, j - номер столбца.

Пример.

Находим все миноры А и вычисляем элементы A^-1.

=

= = .

Проверяем AA^-1=E, к примеру, для 1 – ой строки А и первого столбца А-1: AA^-1[1][1]=(5, –1, 2)*(17, –5, -3)/84=(85 +5 -6)/84=84/84=1.

16. Вычислить обратную матрицу методом Жордана-Гаусса, в котором вычисляются элементы расширенной матрицы (E|A^-1) через последовательность эквивалентных преобразований матрицы (А|Е).

При этом допускаются все элементарные преобразования расширенной матрицы:

• умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля;

• прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число;

• перемена местами двух уравнений в системе.

Пример.

А= 1 2 A^-1= -2 1

3 4 -> 3/2 –1/2

17. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения элементов (методом Гаусса):

Пример.

Запишем систему в более удобном, по сравнению с матричным представлением, видом.

Прямой ход.

Выберем первое уравнение в качестве разрешающего (с помощью которого преобразуют остальные). Разделим разрешающее уравнение на коэффициент при x₁ (разрешающий элемент) и вычтем преобразованное уравнение из остальных. В результате получим систему, в которой неизвестное x₁ исключено из второго и третьего уравнений:

Теперь второе уравнение будет разрешающим с элементов 21/5:

Отнимем от третьего уравнения второе, умноженное на 6/5:

В результате получим:

Обратный ход.

Умножим третье уравнение на (-1/3) и вычтем его из второго, затем умножим это же уравнение на 2/5 и вычтем его из первого. Далее умножим первое уравнение на (-1/5) и, используя это уравнение, исключим неизвестное x₂ из первого уравнения. Окончательно имеем:

.

18. Вычисление корреляционной и ковариационной матриц.

Данные m наблюдений по n факторам приведены в виде матрицы X.

Формула для вычисления ковариации:

,

где - среднее значение наблюдений по i-ому фактору.

Дисперсия - частный случай ковариации:

Формула для вычисления парных коэффициентов линейной корреляции:

.

Для вычислений часто более удобной является следующая эквивалентная запись:

Графовое представление корреляционных связей [Львовский, Новик].

Построить граф

Х2

-0.8 / \-0.7

х1 х3

19. Нахождение оценок коэффициентов математической модели по методу наименьших квадратов (МНК):

,

где X – матрица экспериментальных данных, Y – значения отклика.

Пример.

, .

Транспонируем А.

Найдем информационную матрицу Фишера.

Найдем ковариационно-дисперсионную матрицу (матрицу ошибок).

Найдем решение системы.

А можно проще – сначала Х^ТY – получится вектор, а его умножить на обратную матрицу.

20. Построение матрицы плана полного факторного эксперимента (ПФЭ).

Имеется n – факторов, k - количество уровней изменения их значений.

Неообходимо провести эксперимент, в результате которого все независимые факторы варьируются на всех выбран­ных уровнях.

Количество опытов при ПФЭ подсчитывается как N=kⁿ.

Пример. n = 2 k =2:

-1 -1

-1 1

1 -1

1 1

Пример. n = 3 k =2:

-1 -1 -1

-1 1 -1

1 -1 -1

1 1 -1

-1 -1 1

-1 1 1

1 -1 1

1 1 1

21. Найти сумму элементов закрашенной части матрицы n*n.

22. Найти максимальный и минимальный элементы в закрашенной части матрицы n*n.

23. Найти количество максимальных элементов в закрашенной части матрицы n*n.

24. Подсчитать количество отрицательных, положительных и равных 0 элементов в закрашенной части матрицы.

25. Дана целочисленная квадратная матрица n*n. Найти сумму наибольших значений элементов ее строк.

26. В целочисленной прямоугольной матрице размера n*m найти среднее арифметическое значение элементов столбцов, имеющих четные номера.

27. В целочисленной прямоугольной матрице размера n*m найти элемент, одновременно являющийся максимальным в своей строке и минимальным в своем столбце.

28. В целочисленной квадратной матрице размера n*n найти среднее арифметическое значение элементов, расположенных на главной диагонали.

29. Дана целочисленная прямоугольная матрица размера m*n. Определить в каких строках элементы расположены в возрастающем порядке. Если таких строк нет, то выдать сообщение об этом.

30. Дана целочисленная прямоугольная матрица размера m*n. Определить в каких строках элементы расположены в убывающем порядке. Если таких строк нет, то выдать сообщение об этом.

31. Дана целочисленная прямоугольная матрица размера m*n. Определить в каких столбцах элементы расположены в возрастающем порядке. Если таких столбцов нет, то выдать сообщение об этом.

32. Дана целочисленная прямоугольная матрица размера m*n. Определить в каких столбцах элементы расположены в убывающем порядке. Если таких столбцов нет, то выдать сообщение об этом.

33. Дана целочисленная прямоугольная матрица размера m*n. Найти сумму элементов, у которых сумма индексов четна.

34. В целочисленной квадратной матрице размера n*n найти сумму квадратов элементов матрицы, расположенных на диагоналях.

35. Дана квадратная матрица размера n*n. Определить, является ли матрица симметричной относительно главной диагонали.

36. Дана матрица m*n. Найти среднее геометрическое значение элементов на пересечении четных столбцов и четных строк.

37. Дана целочисленная прямоугольная матрица размера m*n. Определить равны ли какие либо две строки. Если нет таких строк, то вывести сообщение об этом.

38. Дана целочисленная квадратная матрица размера n*n. Определить равна ли сумма элементов главной диагонали сумме элементов побочной.

39. Дана целочисленная прямоугольная матрица размера m*n. Вывести элемент, являющийся максимальным среди элементов находящихся на пересечении нечетных строк и нечетных столбцов.

40. Дана целочисленная прямоугольная матрица размера m*n. Вывести элемент, являющийся минимальным среди элементов, находящихся на пересечении нечетных строк и нечетных столбцов.

41. Дана целочисленная прямоугольная матрица размера m*n. Подсчитать сумму индексов столбцов, сумма элементов которых четна.

42. Дана целочисленная прямоугольная матрица размера m*n. Подсчитать сумму индексов строк, сумма элементов которых нечетна.

43. Дана целочисленная прямоугольная матрица размера m*n. Найти разницу между максимальным элементом матрицы и ее средним арифметическим значением.

44. Дана целочисленная прямоугольная матрица размера m*n. Найти элемент, который имеет наибольшее приближение к среднему арифметическому значению элементов матрицы.

45. Дана целочисленная квадратная матрица размера n*n. Найти разницу между кубами максимального и минимального элемента матрицы.

46. Дана целочисленная квадратная матрица размера n*n. Найти разницу между средним арифметическим значением и разницей между максимальным и минимальным элементами матрицы.