Задача №2

Найдем функции предельной полезности сырья и построим его график, определим функциональную зависимость максимальной выручки от объемов используемых ресурсов, построим графики этих функций.

Пусть объемы фонда времени и трудоресурсы остаются постоянными, меняется только объем сырья. При малом r₁>0 (а₀) будет производиться только продукция B, 



Сырье будет единственным лимитирующим ресурсом до тех пор, пока его объем не станет соответствовать прямой (а₁) (0;58,5),  r₁=40+58,5=58,5 кг

При r₁[0;58,5) =166 руб./кг

При r₁>58,5 минимизирующими будут сырье и оборудование, 



Так будет до тех пор, пока объем сырья не станет соответствовать прямой (а₂) (79,9;20,1),  r₁=476,9+20,1=327,5.

При r₁[58,5;327,5] =46 руб./кг

При r₁>327,5 сырье станет избыточным, т.е. выше прямой (а₂).

При r₁[327,5;) =0 руб./кг

Найдем зависимость Z₁ от r₁:

При r₁[0;58,5) Z₁(r₁)=166r₁

При r₁=58,5 Z₁(58,5)=16658,5=6711 руб.

При r₁[58,5;327,5] Z₁(r₁)=r₁46+11760+6350=7020+46r₁

При r₁=327,5 Z₁(327,5)=7020+46327,5=22086,5 руб.

При r₁[327,5;) Z₁(327,5)=22086,5 руб.

Оформим полученные результаты таблично и построим графики функций U₁(r₁) и Z₁(r₁):

r1 (кг)	[0;58,5]	[58,5;327,5]	[327,5;+)
U1(r1) (руб/кг)	166	46	0
Z1(r1) (руб)	166*r1	7020+46*r1	22086,5

Задача №3

1. Построим математическую модель оптимизации выпуска продукции с использованием кредита для выплаты заработной платы рабочим с произвольной почасовой ставкой t ( руб./чел.-час) оплаты труда.

Пусть Х₁, Х₂- объёмы выпуска продуктов А и Б

S – потребность в трудовых ресурсах

t- почасовая ставка оплаты труда;

V - размер кредита;

Z- выручка от реализации произведенной продукции

P - прибыль предприятия

Выразим в математической форме основные условия и ограничения задачи:

Ограничения по использованию сырья: 12Х₁+3X₂6840

Ограничения по использованию оборудования: 7Х₁+3X₂5040

Потребность в трудовых ресурсах: S=13Х₁+3X₂

Размер необходимого кредита: V=tS=t(13Х₁+3X₂)

Выручка от реализации произведенной продукции: Z=6295x₁+1560X₂

Сумма расходов по кредиту:

Прибыль предприятия:

P=Z–1,1V=6295x₁+1560X₂-1,1t(13X₁+3X₂)=(6295-14,3t)X₁+(1560-3,3t)X₂

Тогда математическая модель задачи примет вид:

12Х₁+3X₂6840

7Х₁+3X₂5040

X₁0; X₂0

P=(6295-14,3t)X₁+(1560-3,3t)X₂MAX

При этом необходимый размер кредита V определяется по формуле:

V=tS=13t +3t

2. Определим оптимальную программу выпуска продукции, максимальную прибыль, необходимый размер кредита, сумму уплаченных процентов и потребность в трудовых ресурсах, если t=10 руб/чел.-час.

При t=10 руб/чел.-час математическая модель примет вид:

12Х₁+3X₂6840

7Х₁+3X₂5040

X₁0; X₂0

P=6152X₁+1527X₂MAX

Построим область допустимых решений и найдем графическое решение задачи:

I. 12x₁+3x₂=6840

x1	0	570
x2	2280	0

II. 7x₁+3x₂=5040

x1	0	720
x2	1680	0

Точка max Х^*= находится в точке A(570;0)

 X^*=(570;0) – оптимальная производственная программа при t=10 руб./чел.-ч.

Определим другие показатели:

Максимальный размер прибыли:

P^*=6152570+15270=3506640 руб.

Размер необходимого кредита:

V^*=1310570+3100=74100 руб.

Сумма уплаченных процентов:

0,1V^*=0,174100=7410 руб.

Потребность в трудовых ресурсах:

S^*=13570+30=7410 чел.-час

3. Найдём функцию спроса на трудовые ресурсы, как функцию почасовой ставки оплаты труда t и построим её график:

grad P(t)=(6295-14,3t;1560-3,3t)

При росте t, нормаль к линиям уровня р(t) будет поворачиваться против часовой стрелки, т.к. 1-ая компонента градиента становится нулевой раньше 2-ой компоненты градиента при росте t.

Точка A остается точкой максимума, пока линии уровня p(t) не станут параллельны прямой (1)

t=50 руб./чел.-час

При t[0;50) точкой максимума будет точка A.

При t=50 оптимальной будет любая точка отрезка АВ.

При t>50 точкой максимума станет точка B(360;840) и будет оставаться ею до тех пор, пока линии уровня р(t) не станут параллельны прямой (2):

t=402,3 руб./чел.-час

При t[50;402,3] точкой максимума будет точка В.

При t=402,3 оптимальной будет любая точка отрезка ВС.

При t>402,3 точкой максимума станет точка С(0;1680) и будет оставаться ею до тех пор, пока 2-ая компонента градиента не станет отрицательной:

1560-3,3t=0

t=472,7 руб./чел.-час

При t[402,3;472,7] точкой максимума будет точка С.

При t=472,7 оптимальной будет любая точка отрезка OС.

При t>472,7 оптимальной точкой будет начало координат, т.е. точка О(0;0).

Представим полученные результаты таблично:

t	X*(t)
0t50	А
t=50	(1-)А+В
50t402,3	В
t=402,3	(1-)В+С
402,3t472,7	С
t=472,7	(1-)С+О
t>472,7	О

где А(570;0), В(360;840), С(0;1680)

Найдем зависимость S от t:

При t[0;50] S^*(t)=S^*(А)=7410 чел.час.

При t[50;402,3] S^*(t)=S^*(В)=7200 чел.час.

При t[402,3;472,7] S^*(t)=S^*(С)=5040 чел.час.

При t=50, t=402,3, t=472,7 производственная программа определяется неоднозначно, а, следовательно, неоднозначен спрос на трудоресурс.

Оформим полученные результаты в виде таблицы и построим график функции S^*(t)

t	X*(t)
0t50	7410
t=50	[7200;7410]
50t402,3	7200
t=402,3	[5040;7200]
402,3t472,7	5040
t=472,7	[0;5040]
t>472,7	0

Исследуем зависимость P^*(t) и V^*(t) при t[10;60]

При t[10;50]:

V^*(t)=V_A=7410t

P^*(t)=3588150 - 8151t

При t[50;60]:

V^*(t)=V_B=7200t

P^*(t)=3576600 - 7920t

При t=50:

V^*(t)=V_A=741050=370500

V^*(t)=V_B=720050=360000

P^*(50)=3588150 - 815150=3180600 руб.

P^*(50)=3576600 - 792050=3180600 руб.

Представим полученные результаты в виде таблицы и построим графики функций P^*(t) и V^*(t)

t (чел.-час)	10t50	t=50	50t60
V*(t) (руб.)	7410t	[360000;370500]	7200t
P*(t) (руб.)	3588150 – 8151t	3180600	3576600 – 7920t