Тема 7. Одномерная плановая нестационарная фильтрация подземных вод

Одномерная параллельно-плановая нестационарная фильтрация подземных вод описывается дифференциальным уравнением вида:

, (24)

где а – коэффициент пьезопроводности.

Для решения уравнения (24) необходимо задать так называемые краевые (т.е. начальные и граничные) условия.

Для полуограниченного пласта в условиях мгновенного скачка на границе (рис. 15), т.е. при следующих краевых условиях:

Н (x, t = 0) = Н^о; Н (x = 0, t) = Н_о; Н (x = ∞, t) = Н^о

и введении новой переменной вида:

ΔН = Н - Н^о,

уравнение (24) и краевые условия могут быть преобразованы следующим образом:

; (25)

ΔН (х, t = 0) = 0; ΔН (х = 0, t) = ΔН^о; ΔН (х = ∞, t) = 0. (26)

Решение задачи (25)-(26) имеет следующий вид (так называемое фундаментальное решение):

, (27)

где erfc(λ) – специальная функция (см. прил. 1),

;

.

При линейном изменении уровня на границе х = 0, краевые условия для ΔН следующие:

ΔН (х, t = 0) = 0; ΔН (х = 0, t) = ν t,

где ν – скорость изменения напора на границе области фильтрации.

Общий вид решения для этого случая:

, (28)

где R(λ) – специальная функция (см. прил. 2).

.

В случае ограниченного пласта с граничными условиями первого рода, когда на одной из границ напор претерпевает скачкообразное изменение, а на второй остается прежним (рис. 16), т.е. при

ΔН (х = 0, t) = ΔН^о; ΔН (х = L, t) = 0,

(здесь L – длина области фильтрации), решение может быть представлено в виде:

, (29)

где – специальная функция,

;

; .

Приведенные выше решения (27), (28) и (29) справедливы для напорной фильтрации подземных вод. В условиях безнапорной фильтрации в однородном водоносном горизонте при горизонтальном расположении водоупора данные решения следует преобразовать с использованием подстановки вида:

ΔН = S (2h_о – S),

где h_о – первоначальная мощность безнапорного потока.

В условиях радиальной нестационарной фильтрации исходное дифференциальное уравнение имеет вид:

. (30)

При откачке из скважины с постоянным дебитом Q в неограниченном изолированном напорном пласте понижение в любой момент времени в любой точке может быть определено по формуле Тейса:

(31)

где Ei (-х) – интегральная экспоненциальная функция (см. прил. 3).

.

Если , функцию - Ei (-х) можно преобразовать к виду:

.

С учетом последнего равенства для квазистационарного режима фильтрации формула Тейса примет вид:

. (32)

Полученное выражение часто называют формулой Джейкоба.

Решение задач

Пример 1. Аллювиальные отложения реки представлены песками со средней мощностью около 20 м (рис. 17). К аллювиальным отложениям приурочен водоносный горизонт средней мощностью 15 м, водоупором для которого служит мощная толща глин. Во время паводка уровень воды в реке повысился на 3 м. Коэффициент фильтрации аллювиальных отложений равен 10 м/сутки, коэффициент гравитационной водоотдачи ориентировочно -– 0,1. Расстояния между рекой и скважинами х₁ = 10 м, х₂ = 20 м; х₃ = 30 м. Оценить величину подпора подземных вод в скважинах 1-3 на моменты времени t₁, t₂ и t₃. Описать развитие процесса подпора подземных вод во времени. Значения t₁, t₂ и t₃ по вариантам следующие:

Вариант	1	2	3	4	5
t1,сутки	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
t2, сутки	2,0	2,1	2,2	2,3	2,4
t3, сутки	3,5	3,6	3,7	3,8	3,9

Решение. Поскольку в данном случае изменение уровня подземных вод незначительно, в качестве расчетной зависимости можно использовать решение линеаризованного уравнения фильтрации. В частности, предполагая мгновенный характер подъема уровня воды в реке, можно воспользоваться фундаментальным решением:

ΔН = ΔН^оerfc λ.

По условиям задачи ΔН^о = 3 м. Коэффициент уровнепроводности = 1,5·10³ м²/сутки.

Для анализа процесса развития подпора во времени необходимо построить графики ΔН = f (t) для каждой наблюдательной скважины и ΔН = f (х) на все расчетные моменты времени.

Пример 2. Створ наблюдательных скважин сооружен перпендикулярно реки (рис. 18), расстояние между рекой и скважинами х₁ = 50 м и х₂ = 100 м. Основным водоносным горизонтом является горизонт аллювиальных песчано-галечниковых отложений, подстилаемых толщей глин и суглинков. Во время паводка на моменты времени t были замерены величины подпора подземных вод в скважинах ΔН₁ и ΔН₂ и подъем воды в реке ΔН^о. Определить коэффициент уровнепроводности водоносного горизонта, а также сопротивление русла реки ΔL. Параметры горизонта и время замеров по вариантам следующие:

Вариант	1	2	3	4
ΔНо, м	5	5	3	3
ΔН1, м	1,29	2,86	0,45	0,75
ΔН2, м	0,69	2,29	1,37	1,72
t, сутки	1	4	1	4

Решение. Согласно формуле (27), подпор подземных вод в наблюдательных скважинах:

ΔН₁ = ΔН^о erfc λ₁; ΔН₂ = ΔН^о erfc λ₂.

Зная величины ΔН^о, ΔН₁, ΔН₂, можно найти erfc λ₁ и erfc λ₂ и по таблицам функции erfc х (см. прил. Ι) можно определить величины λ₁ и λ₂. В свою очередь,

λ₁ = (х₁ + ΔL) / 2√αt; λ₂ = (х₂ + ΔL) / 2√αt.

Решив полученную систему относительно ΔL и α, найдем искомые параметры. В частности, расчетное значение:

ΔL = (λ₁х₂ – λ₂х₁) / (λ₂ - λ₁).

Пример 3. В неограниченном изолированном водоносном горизонте с постоянным дебитом Q работает водозаборная скважина (рис. 19). Определить расход подземных вод, протекающих через зону, ограниченную расчетным радиусом влияния R_р, а также через зону квазистационарного движения R_к.

Решение. Расход подземного потока, протекающего через любую границу радиуса R,

.

С другой стороны, в неограниченном изолированном пласте величина

.

Следовательно, .

Расчетный радиус влияния , в этих условиях расход подземных вод, поступающих из внешней зоны через поверхность радиуса R_р,

Радиус зоны квазистационарного движения , тогда соответствующий расход подземных вод:

.

Полученное решение наглядно показывает, что зона квазистационарного движения является по существу зоной транзита, в то время как внешняя зона служит областью формирования запасов подземных вод.

Заметим также, что Q_R → Q, если R → 0, т.е. решение Тейса предполагает бесконечно малые размеры водозаборной скважины.

Задачи и вопросы для самостоятельной работы

1. Найти расход подземных вод, протекающих через сечение х = 0, считая пласт полуограниченным.

2. Провести строгий вывод решения задачи для полуограниченного пласта в условиях безнапорного потока.

3. Рассмотреть возможности применения решения Тейса при наличии естественного потока.

4. Как изменится решение задачи при фильтрации напорных подземных вод в полуограниченном пласте при наклонном водоупоре? Отметить возможные изменения при безнапорном движении.

5. Упростить формулу фундаментального решения для условий квазистационарного движения.

6. Исследовать границы применимости понятия расчетного радиуса влияния.

7. Вывести условия аппроксимации функции Еi (-х) логарифмической зависимостью с точностью до 0,5; 1; 2; 3 и 5%.

8. Используя решение (29), вывести расчетные зависимости для ограниченного пласта, в котором вторая граница представляет собой непроницаемую границу (δН/δх = 0).

9. Сопоставить решения для откачки из неограниченного изолированного пласта в условиях граничных условий первого и второго родов на скважине.

10. Для схемы ограниченного пласта вывестиусловия применимости решения полуограниченного пласта, а также определить, начиная с какого момента времени можно использовать решение для стационарной фильтрации.

Контрольные вопросы

1. Что такое нестационарная фильтрация?

2. Напишите исходное дифференциальное уравнение параллельно-плановой нестационарной фильтрации, фундаментальное решение и дифференциальное уравнение радиальной нестационарной фильтрации.

3. Что такое квазистационарный режим фильтрации?

4. Напишите формулы Тейса и Джейкоба.

5. При каких условиях наступает квазистационарный режим фильтрации?

6. Что такое краевые условия фильтрации?

7. Что характерно для режима фильтрации в условиях полуограниченного и ограниченного пласта?

8. Напишите решение для полуограниченного пласта при линейном изменении уровней на границе.

9. Как можно получить решение для безнапорной нестационарной фильтрации подземных вод?

10. Напишите граничное условиена скважине в схеме Тейса.

11. Что такое изолированный пласт?