Задача 3

Малое предприятие намерено организовать в следующем квартале выпуск продукции А и Б, пользующейся высоким спросом на рынке. Предприятие располагает необходимым сырьем и оборудованием и может привлечь квалифицированных рабочих на условиях почасовой оплаты, но не имеет средств на оплату труда рабочих. Для этого оно может получить в банке кредит сроком на три месяца под 40% годовых с погашением кредита и процентов по нему в конце квартала.

Информация о нормах затрат сырья, оборудования и трудовых ресурсов, объемах сырья и парка оборудования, имеющихся в распоряжении предприятия, размер выручки от реализации продукции А и Б приведены в таблице:

Наименование ресурсов	Норма затрат на		Объем ресурса
	Продукт А	Продукт В
Сырье (кг)	2	1	540
Оборудование (ст.час.)	7	5	2100
Трудоресурсы(чел.час.)	3	1	?
Цена реализации (руб.)	1095	520

Целью организации выпуска новой продукции является получение максимальной суммарной прибыли, которая определяется как разность между суммарной выручкой, полученной от реализации произведенной за квартал продукции А и Б, и затратами, связанными с обеспечением кредита (возврат суммы кредита и начисленных процентов).

Требуется:

1. Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции с использованием кредита для выплаты зарплаты рабочими с произвольной почасовой ставкой t (руб./чел.-час) оплаты труда.

2. Определить оптимальную программу выпуска продукции, максимальную прибыль, необходимый размер кредита, сумму уплаченных процентов и потребность в трудовых ресурсах, если почасовая ставка t оплаты труда равна 10 руб./чел.-час.

3. Найти функцию спроса на трудовые ресурсы, как функцию почасовой ставки оплаты труда t, построить график этой функции. Исследовать зависимость размеров максимальной прибыли и кредита, обеспечивающего ее получение, от почасовой ставки t оплаты труда в диапазоне от 10 до 60 рублей за чел.-час. Найти функции, выражающие эти зависимости, и построить их графики.

Решение.

2.1. Для построения модели введем следующие обозначения:

х₁ – объем выпуска продукции А,

х₂ – объем выпуска продукции Б,

S – потребность в трудовых ресурсах,

t – почасовая ставка оплаты труда,

V – размер кредита,

Z – выручка от реализации произведенной продукции,

P – прибыль предприятия.

Выразим в математической форме основные условия и ограничения рассматриваемой задачи.

Ограничения по использованию сырья:

2x1 + 1x2  540;

Ограничения по использованию оборудования:

7x1 + 5x2  2100;

Потребность в трудовых ресурсах S определяется необходимыми затратами труда для выпуска продукции в объемах х₁ и х₂:

S = 8x1 + 1x2.

Размер необходимого кредита определяется, исходя из потребности в трудовых ресурсах S и почасовой ставки оплаты труда t, т.е.

V=tS = t(8x1 + 1x2).

Выручка от реализации произведенной продукции:

Z = 1095x₁ + 520x₂

Сумма расходов по обслуживанию кредита определяется размером возвращаемого кредита и процентов по нему, т.е. равна

40% 3

V + (  )V = V + 0.1V = 1.1V.

12. 100%

Прибыль предприятия определяется как разность между выручкой и расходами по обслуживанию кредита, т.е.

Р = Z – 1.1V.

Подставляя в эту формулу выражения для Z и V, получим

Р = (1095x₁ + 520x₂ )– 1,1 t(8x1 + 1x2) = (1095 – 8,8t)х₁ + (520 – 3,3 t)х₂

Следовательно, математическая модель оптимизации выпуска продукции с привлечением кредитных ресурсов для оплаты труда рабочих принимает следующий вид:

Найти неизвестные значения объемов выпуска х₁, х₂, удовлетворяющих ограничениям

2x1 + 1x2 £ 540

7x1 + 5x2 £ 2100 (1)

х₁0, х₂0,

и доставляющих максимальное значение целевой функции:

Р = (1095 – 8,8t)х₁ + (520 – 3,3 t)х₂ → max.

При этом необходимый размер кредита V определяется по формуле:

V = tS = 8tx₁^* + 3tx₂*,

где х₁*, х₂* - оптимальное решение задачи (1). Модель (1) представляет собой задачу параметрического линейного программирования, так как в ее условиях содержится параметр t, от значения которого зависит оптимальное решение.

2.2.При фиксированной ставке оплаты труда t = 10 руб./чел.-час. математическая модель (1) примет вид:

2x1 + 1x2 £ 540

7x1 + 5x2 £ 2100

х₁0, х₂0,

Р = 1870х₁ + 627х₂ → max.

Графическое решение задачи изображено на рис. Точкой максимума является точка В с координатами х₁* = 480, х₂*= 540.

Максимальный размер прибыли:

Р* = Р = 1870480 + 727 540= 1290180 (руб.),

Размер необходимого кредита:

V* = 8tx₁^* + 1x2* = 810480 + 310540 =54600 руб.,

Сумма уплаченных процентов: 0,1V* = 0,1 54600= 5460руб.

Потребность в трудовых ресурсах: S* = 8x₁^* +3 x₂^* = 8480 + 3540 = 5460(чел.-час.).

2.3. Потребность в трудовых ресурсах S для обеспечения оптимального выпуска в объемах х₁*, х₂* определяются соотношением:

S* = 8x₁^* + 1x2*,

Но оптимальный план выпуска Х* = (x₁^* , x₂^*), зависит от почасовой ставки t оплаты труда. Следовательно, величина Sтакже зависит от t, т.е. потребность в трудовых ресурсов S есть некоторая функция от параметра t.

Найдем эту функцию. Для этого рассмотрим модель (1) и определим оптимальные планы выпуска Х* = (x₁^* , x₂^*) при различных значениях t, используя графический метод решения задачи линейного программирования.

Пусть t достаточно мало (близко к нулю). Рассмотрим уравнение линии уровня целевой функции

Р = (1095 – 8,8t)х₁ + (520 – 3,3 t)х₂ = h.

При малых значениях t прямая с таким уравнением будет почти параллельна прямой с уравнением

Р = 1095х₁ + 520х₂ = h.

Если «закрепить» линию уровня в т.В и начать увеличивать значение параметра t, то точка Е пересечения линии уровня с осью Ох₂ начнет перемещаться вверх по оси Ох₂ по направлению к точке D.

Найдем значение t, при котором линия уровня параллельна ВС. Из равенства угловых коэффициентов получаем: (1095 – 8,8t)х₁ + (520 – 3,3 t)х₂

, t =20

Следовательно точка B (480;540) остается точкой максимума пока t[0;20).

Найдем максимальный размер прибыли для t[0;20):

Р* = (1095 – 8,8t)480 + (520 – 3,3 t) 540 = 1296240-6006t (руб.),

Размер необходимого кредита:

V* = 8tx₁^* + 1x2* = 8t480 +3t540 =5460t руб.,

Сумма уплаченных процентов: 0,1V* = 0,1 5460t = 546t руб.

Потребность в трудовых ресурсах: S* = 8x₁^* + 1x2* = 8480 +3 540 = 5460(чел.-час.).

Если t=20, то оптимальное решение будет достигаться на отрезке ВС, концы которого имеют координаты В(480;540) и C(520;0).

Если «закрепить» линию уровня в т.C и начать увеличивать значение параметра t, то линия уровня будет приближаться к прямой OC.

Найдем значение t, при котором линия уровня параллельна OC. Из равенства угловых коэффициентов получаем:

; t =200 > 30.

Если t[20; 50] точкой максимума станет точка C(520;0).

Найдем максимальный размер прибыли для t[20;50]:

Р* =(1095-8,8t)520 +0 = 1292280 – 5808t (руб.),

Размер необходимого кредита:

V* = 8tx₁^* + 3tx₂* = 8t520 + 0 =5280t руб.,

Сумма уплаченных процентов: 0,1V* = 528tруб.

Потребность в трудовых ресурсах: S* = 8x₁^* +3 x₂^* = 8520 + 0 = 5280(чел.-час.).

Итоги решения задачи представим в таблице:

Почасовая оплата труда t (руб.)	Оптималь-ный план выпуска Х*(t)= (x1*,x2*)	Величина спроса на трудовые ресурсы S*(t) (чел.-час.)	Размер необходимого кредита V*(t), (руб.)	Величина максимальной прибыли Р*(t) (руб.)
t = 10	(480;540)	5460	54600	1236180
t(10;20)	(480;540)	5460	5460t	1296240-6006t
t = 20	Отрезок ВС	[5280;5460]	[105600;109200]	1176120
t(20;50]	(520;0)	5280	5280t	1292280 – 5808t