4.1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

F(x, y, y) = 0.

Если это уравнение можно разделить относительно y^, то оно имеет вид

y^ = f(x,y). (4.2)

Общим решением дифференциального уравнения I порядка называется функция

y = (x₁, c₁), (4.3)

которая зависит от одного произвольного постоянного С и удовлетворяет условиям:

1. Она удовлетворяет ДУ при любом С

2. Каково бы ни было начальное условие можно найти такое с = с₀, что y = (x, c₀) удовлетворяет данному начальному условию

Частным решением уравнения (4.2) называется функция y = (x, c₀), которая получается из общего решения y = (x, c), при определенном значении с = с_0.

Геометрически:

а) Общие решения ДУ - семейство кривых на координатной плоскости, зависящее от одной произвольной постоянной С (интегральные кривые).

б) частное решение – одна интегральная кривая семейства, проходящая через данную точку (х₀,у₀) плоскости.

Решить (проинтегрировать) ДУ – значит:

1. Найти его общее решение

2. Найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию .

4.1.1. Уравнение с разделяющими переменными.

Уравнение вида M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 называется уравнением с разделяющими переменными, если функции M(x, y), N(x, y) можно представить в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одного переменного x или y.

Чтобы проинтегрировать уравнение, надо разделить переменные – это значит перед дифференциалом dx оставить функцию, зависящую только от x, а перед дифференциалом dy, зависящую только от y.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Разделив переменные, получим

или

т.е.

- (общее решение в неявном виде).

Пример 2. Решить задачу Коши для уравнения

, ; .

Решение. а) Разделяя переменные, получим , тогда или – общее решение уравнения.

б) Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию: .

Подставляя начальное условие в общее решение, получим

частное решение:

4.1.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение. Функция f(x,y) называется однородной измерения k относительно x и y,если она удовлетворяет при любом t равенству:

f(tx, ty) = t^kf(x ,y)

Уравнение M(x, y)dx + N(x, y)dy называется однородным если функции M(x, y), N(x, y)-однородные функции одного и того же измерения.

Замена приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными относительно функции u(x).

Пример 3. Решить уравнение. - однородное дифференциальное уравнение (n=1)

Решение:

или .

Разделяя переменные, интегрируя, получим.

- общий интеграл.

Замечание. Уравнение вида у=f(x,y) называется однородным, если f(x,y)-однородная функция нулевого измерения.

4.1.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Линейное ДУ первого порядка называется уравнение вида

Решается с помощью подстановки ,где и - дифференцируемые функции, тогда

или

Функция находится так, что получаем систему

Определив и , получим общее решение линейного уравнения .

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение – линейное относительно функции и .

Замена приводит к системе двух уравнений с разделяющимися переменными:

- общее решение.