Тема 9. Числові та степеневі ряди

1. Числові ряди.

2. Степеневі ряди.

1. . Числові ряди

У деяких задачах розглядають суми, що складаються із нескінченної кількості доданків. Властивості таких нескінченних сум часто суттєво відрізняються від властивостей сум скінченної кількості доданків.

Наприклад, для суми S=1-1+1-1+1-1+… згідно з асоціативним законом маємо S=(1-1)+(1-1)+… та S=1-(1-1)-(1-1)-… . Отже, для нескінченних сум асоціативний (сполучний) закон додавання не виконується.

Означення. Нехай задано нескінчену послідовність {a_n}=a₁,a₂,…,a_n,…    .

Тоді вираз   a₁+a₂+…+a_n+…= називають числовим рядом, а доданок a_n - загальним членом цього ряду.

Розглянемо часткові суми числового ряду:

S₁=a₁ ;

S₂=a₁+a₂ ;

…………..

S_n=a₁+a₂+…+a_n ;

…………….

Означення. Ряд називається збіжним, якщо послідовність його часткових (частинних) сум має скінченну границю. Ця границя називається сумою ряду

(9.1)

Приклади.

1. Ряд є збіжним. Його сума дорівнює 1, оскільки згідно з формулою суми геометричної прогресії .

2. Ряд є розбіжним, оскільки можна довести, що для будь-якого числа A знайдеться такий номер N , що .

3. Нехай у деякій закритій економіці частка національного продукту, яку витрачають на споживання, становить b, а частка, яку вкладають в інвестування  1-b . Нехай початкові інвестиції дорівнюють I. Тоді згідно з теорією Кейнса споживання спричинить нові інвестиції у розмірі bI . На наступному етапі матимемо інвестиції в розмірі b²I і так далі. В перспективі національний доход становитиме Y=I+bI+b²I+…= . Коефіцієнт називають мультиплікатором.

Властивості збіжних рядів

Теорема 1 (необхідна умова збіжності рядів). Якщо ряд збігається, то його загальний член прямує до нуля ( ).

Теорема 2. Якщо ряд збігається, то для будь-якого значення m2 збігається ряд і навпаки.

Крім того, збіжні ряди можна почленно додавати та множити на число.

Достатні ознаки збіжності рядів

Теорема 3. Нехай задано два ряди з додатними членами (знакододатні, знакосталі ряди) та . Нехай для всіх значень індексу i виконується a_ib_i . Тоді із збіжності ряду випливає збіжність ряду .

Теорема 4 (ознака Д’Аламбера). Нехай для ряду з додатними членами існує границя .Тоді при l<1 ряд збігається, а при l>1 розбігається.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд

Знаходимо границю

. Ряд збігається.

Теорема 5 (ознака Лейбніца). Нехай задано знакозмінний ряд (кожні два сусідні члени ряду мають інший знак). Тоді якщо , то ряд є збіжним.

Приклад. Ряд збігається, бо .

Для обчислення цього ряду, наприклад, з точністю до 0.01 потрібно, щоб , тобто , звідки . Отже, потрібно взяти 100 членів ряду.

Абсолютна збіжність рядів

Означення. Ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд , та умовно збіжним, якщо збігається ряд , а ряд розбігається.

Приклади.

1. Ряд є умовно збіжним, оскільки ряд розбігається.

2. Ряд є абсолютно збіжним.

9.2. Степеневі ряди

Означення. Степеневим рядом називається ряд вигляду

c₀+c₁x+c₂x²+…+c_nxⁿ+…

Приклади.

1. Степеневий ряд 1+x+x²+…+xⁿ+… Тут усі c_n=1.

2. Степеневий ряд 1-2x+3x²-4x³+5x⁴-… Тут c_n = (-1)ⁿ(n+1).

Очевидно, що за одних значень змінної x ряд може збігатися, а за інших – розбігатися. Тому ставлять задачу звідшукання радіуса збіжності степеневого ряду (тобто такого додатного числа R, що для всіх значень |x|<R степеневий ряд є збіжним).

Приклад.

1. Знайти область збіжності степеневого ряду

Згідно з ознакою Д’Аламбера .

Очевидно, що при –2<x<2 . Отже, радіус збіжності нашого степеневого ряду R=2. При –2<x<2 степеневий ряд збігається. При x>2 та x<-2 цей ряд розбігається. Випадки x=2 та x=-2 потрібно досліджувати окремо.

Теорема (без доведення). Степеневий ряд в області його збіжності можна почленно диференціювати та інтегрувати.

Одним із найважливіших результатів математичного аналізу є розклад функцій у ряди.

Теорема. Нехай у деякому околі точки x₀ функція f(x) є (n+1) разів диференційовною. Тоді в цьому околі функція f(x) розкладається в такий ряд

, (9.2) де точка  належить околу точки x₀ .

Цю формулу називають формулою Тейлора. Очевидно, що коли (n+1)^–а похідна f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) обмежена, то залишковий член ряду прямує до нуля при xx₀. Отже,

.

При x₀=0 формула Тейлора перетворюється у формулу Маклорена

(9.3)

Легко бачити, що формула Маклорена є степеневим рядом. Таким чином елементарні (шкільні) функції, всі які є багато разів диференційовними, можна розкладасти в степеневі ряди.

Приклади.

1. Розкласти в степеневий ряд функцію f(x)=e^x.

Маємо f(x)=f(x) =f(x) =…=f⁽ⁿ⁾(x) =…=e^x . Далі f(0)=f(0)=f(0)=…

…=f⁽ⁿ⁾(0) =…=e⁰=1. Отже,

2.

Згідно з ознакою Лейбніца ( ) ряд збігається при будь-якому значенні x.

2. Оскільки (sinx)=cosx, (sinx)=-sinx, (sinx)=-cosx, (sinx)^IV=sinx, то

…=

4. Оскільки

і далі ln1 = 1, ln1 = -1!, ln1 = 2!,

то

Радіус збіжності визначаємо відповідно до ознаки Д’Аламбера:

, звідки умова |x|<1. Отже, R=1.

Формула Тейлора справджується і для функцій від багатьох змінних. Зокрема, для функції від двох змінних f(x,y) в околі точки (0;0):

(9.4)