О роли лоренцевой калибровки в уравнениях электродинамики

Рассмотрим систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме для безграничной непроводящей, однородной и изотропной среды в отсутствие сторонних электрических зарядов с линейными материальными уравнениями и , для которых относительная диэлектрическая  и магнитная проницаемость  не меняется с течением времени. При соблюдении вышеперечисленных условий система уравнений Максвелла имеет вид:

. (29)

Выше была показана возможность сведения системы уравнений (29) к двум волновым уравнениям отдельно для вектора напряжённости электрического поля и вектора напряжённости магнитного поля, решения которых можно искать или в форме плоских гармонических бегущих волн или в форме бегущих волн Даламбера. Существование единой электромагнитной волны, поперечность этой волны, ортогональность и синфазность векторов и в произвольной электромагнитной волне, связь между амплитудами волн и , ориентацию тройки векторов , , , где – единичный вектор, задающий направление распространения волны – следствие исходной системы уравнений Максвелла (29).

Если лоренцева калибровка потенциалов электромагнитного поля имеет место, справедливы уравнения:

 ; (30)

 . (31)

В учебной и научной литературе условию калибровки часто отводится чисто вспомогательная роль инвариантного преобразования, позволяющего записать систему уравнений потенциалов электромагнитного поля в более простом виде, и, главное, в форме независимых друг от друга уравнений для скалярного  и векторного потенциалов отдельно [1,2]. На самом деле роль условия калибровки значительно глубже. Согласно логике вывода уравнений (30) и (31), условие лоренцевой калибровки равноправно с уравнениями Даламбера и представляет собой замыкающую часть единой системы. В этих условиях не приходится говорить о независимости друг от друга скалярного и векторного потенциалов. Аналогичные проблемы обсуждаются в работе [3].

Рассмотрим систему уравнений (30), (31). Уравнения (30) и (31) допускают решения в форме Даламбера:

; (32)

; (33)

; (34)

; (35)

векторы и –единичные векторы, задающие направления распространения соответствующих волн, -фазовая скорость рассматриваемых волн.

(36)

□ (37)

, (39)

□ (40)

(41)

□ (42)

□ (43)

□ (44)

□ (45)

Уравнения Даламбера – решение возможно в форме произвольных плоских волн Даламбера для скалярного потенциала и каждой компоненты векторного потенциала, при этом фазовая скорость одна и та же, а направления могут разные.

Требуем выполнения условия калибровки Лоренца

(46)

(47)

В уравнении (47) присутствуют 4 разных функции, каждая из которых зависит от "своего" специфического аргумента. Это уравнение должно быть выполнено в произвольной точке пространства и в любой момент времени. Единственная возможность решения этой проблемы - это потребовать, чтобы аргументы всех функций, входящих в уравнение (47) были одинаковы:

(48)

В результате оказывается, что обеспечено одно единственное направление распространения волн для компонент векторного потенциала и скалярного потенциала , второй результат - рассматриваемые волны синфазны.

Заготовим выражения для последующего вычисления напряжённостей Е и Н

(49)

(50)

(51)

градиент

(52)

производная от А по времени

(53)

компоненты напряжённостей и

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)

ортогональность и (непосредственное вычисление)

(60)

ортогональность и

(61)

(с учётом калибровки Лоренца);

ортогональность и (непосредственное вычисление)

(62)

Ввыод: рассматриваемая волна поперечная.

Вектор Пойнтинга (окончательные выражения получены с учётом условия s=1, проекции векторов и - действительные величины)

(63)

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

и - это очевидно (по построению)

вектор сонаправлен вектору , а это надо показать

(69)

прямое вычисление (с учётом калибровки Лоренца)

(70)

Вектор Пойнтинга (мгновенное значение) и единичный вектор направления распространения волны одинаково направлены.

Соотношение между «амплитудами». Из уравнения калибровки Лоренца (непосредственно)

(71)

(72)

Итог:

(73)

Специальный случай:

(74)

Вывод: условие лоренцевой калибровки (10) сужает множество допустимых решений совокупности уравнений  и  до множества, эквивалентного решениям исходной системы уравнений Максвелла.