3) Похідні складної ф-ції багатьох змінних. Диференціал складної ф-ції багатьох змінних.

Нехай задана ф-ція , якщо x=x(t), y=y(t). z=f(x(t),y(t)) визначає складну фу-цію змінної t.

Теорема 1

Нехай ф-ції x=x(t), y=y(t) диференційовані у точці t, а ф-ція z=f(x(t),y(t)) диференційована у відповідній точці , тоді складна ф-ція диференційована у точці t і її похідну можна обчислити за формулою (1)

Доведення

Оскільки ф-ція z диференційована у точці M, то (2). Поділимо обидві частини рівності (2) на : (3)

Перейшовши у (3) до границі обернено (1)

Теорема 2

Нехай ф-ції диференційовані у точці , а ф-ція z=f(x,y) диференційована у відповідній точці , тоді складна ф-ція диференційована у т. і її похідні у цій точці можна обчислити за ф-лами

Розглянемо диференціал складної ф-ції

(5)

Порівнюючи вираз (5) із виразом для диференціала у випадку коли змінні х і у незалежні, бачимо, що вони однакові. Це означає, що для ф-ції багатьох змінних, як і для ф-ції однієї змінної, диференціали 1-го порядку має власність незмінності своєї форми. І так само для ф-цій багатьох змінних диференціали вищих порядків такої властивості не мають.

4. Екстремуми ф-ції двох змінних. Необхідні і достатні умови.

Оз-ня: Нехай ф-ція z=f(M) визначена у деякій області D, т. М D наз. локальним мінімумом ф-ції z=f(M), якщо існує такий окіл цієї точки, який цілком міститься в , для всіх точок М з якого (M ) виконується нерівність f(M)>f( . Якщо за попередніх умов для всіх точок М із вказаного околу (M ) виконується нерівність f(M)<f( , т. наз. точкою локального максимуму ф-ції z=f(M). Точки лок. макс. і мін. наз. точками локального екстремуму ф-ції.

Аналог. Тому, як це було для ф-ції однієї змінної, для ф-ції багатьох змінних справедлива:

Теорема 1 (необхідні умови лок. екстремуму)

Якщо ф-ція z=f(M) має у т. локальний екстремум, то частині похідні у цій точці або дор. 0, або не існують.

Оз-ня: Точка області D з яких частині похідні дop. 0, наз. стаціонарними. Стаціонарні точки, а також в яких частинні похідні не існують наз. критичними.

Теорема 2 (Достатні умови лок. екстремуму 2-х змінних)

Нехай – стаціонарна точка ф-ції z=f(x,y) назначимо через A= . Якщо >0 і A<0, т. – точка локального максимуму ф-ції, якщо >0 і A>0, т. – точка лок. мінімуму ф-ції , якщо <0 , т. не є точкою екстремуму.

Теорема 3 (Другі достатні умови)

Нехай – стаціонарна точка ф-ції , якщо , т. є точкою лок. мінімуму, якщо , т. є точкою лок. максимуму.

5. Повний диференціал ф-й багатьох змінних.Диференціали вищих порядків

Нагадаємо, що ф-ю z=f(x,y) називають диференційовною у точці M(x,y) , якщо повний переріз цієї ф-ії z можна подати у вигляді х+В у+ х+ у (1)

Оз-ня:Повним диференціалом, диференційовної у точці М(х,у) ф-ї z=f(х,у) наз.головну лінійну відносно х і у частину повного прирісту ф-ї в цій точці: (2)

Будемо вважати диференціали незалежних змінних dx= х, dy= у, за теоремою про існування частинних похідних у диференційовної ф-ї , враховуючи це формулу (1) можна подати у такому вигляді: (3)

Якщо ф-я залежить не від двох, а від більшого числа змінних, її повний диференціал визначається аналогічно ф-лі (3). Якщо наприклад М=f(x,y,z).

Оз-ня: Диференціал другого порядку визначається, як диференціал від диференціала 1-го порядку:

Нехай задана ф-я z=f(x,y) яка задовольняє умову теореми Шварца про мішані похідні. За оз-ням

Одержимо (4)

Ф-лу (4) можна скорочено подати у вигляді:

(5)

Аналогічно обчислюються диференціали 3-го і вищих порядків

(6)

z (7)

Слід звернути увагу на те, що у ф-лах1(4-7) змінні х і у вважають незалежними.

6. Скалярне поле. Похідна за напрямом. Градієнт.

Озн. Нехай G область у просторі , якщо кожній точці із G відповідає деяка скалярна величина, то ця область наз. Скалярним полем. Інакше кажучи скал. Поле-це деяка функція разом з її областю визначення G.

Скалярним полем є поле температур деякого тіла, поле вологості повітря, поле атм. Тиску.

Озн. Нехай в області G задана функція і точка М є G і t>0 досить мале число. Похідна функції за напрямом вектора е у т.M називається границя = якщо вона існує.

Похідну за напрямом можна обчислити за ф-лую:

(1)

Похідна за напрямом є узагальненням частинних похідних, так якщо вектор є колінеарен осі ох і збігається з її напрямом,

Озн. Вектор, координатами якого є значення частинних похідних функції у т.М (х,у,z) наз. Градієнтом функції u у цій точці і позначається grad u, тобто за озн. .

Із формули (1) випливає, що ,де -кут між градієнтом і одиничним вектором. Звідси , (2)

Iз формули (2) випливає, що у випадку коли напрям градієнта збігаеться з напрямом вектора e, похідна в цій точці за напрямом e має найбільше значення : max (3).