1. Определение положения центра тяжести сечения

1. П

   I

   лощадь составного сечения

.

2. Статический момент площади составного сечения относительно исходной оси x

II

3. С татический момент площади поперечного сечения относительно исходной оси y

4. Координаты центра тяжести составного сечения в осях x-y

.

2. Определение осевых и центробежного моментов инерции составного сечения относительно центральных осей x0-y0

2.1. Координаты центров тяжести фигур в осях x_о-y_о

Фигура I: a₁ = 5,71 см, b₁ = 6,24 см.

Фигура II: a₂ = -4,78 см, b₂ = -5,23 см.

1. Осевой момент инерции составного сечения относительно оси x_o

;

2. Осевой момент инерции составного сечения относительно оси y_o

;

2. Центробежный момент инерции составного сечения относительно осей x_o-y_o

Для фигуры I ось x₁ является осью симметрии, поэтому центробежный момент J^I_x1y1 = 0 по определению.

Для фигуры II центробежный момент в осях x₂-y₂ может быть рассчитан по формуле

.

В этом случае

,

3. Определение положения главных центральных осей инерции

4. Определение главных центральных моментов инерции составного сечения

5. Контроль результатов решения

Положение главных центральных осей через моменты инерции I_max, I_min, J_xoyo, J_xo и J_yo определяется как

где α₁, α₂ – углы между осями x_o и u, и между x_o и v (знак «+» соответствует повороту оси x_o против часовой стрелки).

|α₁| + |α₂| = 90⁰, следовательно, положение главных центральных осей определено правильно.

Практические рекомендации

При определении центробежных моментов инерции равнобоких и неравнобоких уголков относительно их собственных центральных осей можно столкнуться с некоторыми трудностями.

Ниже приведены некоторые практические рекомендации для определения величины и знака центробежных моментов этих прокатных профилей.

При определении геометрических характеристик неравнобокого уголка необходимо учитывать, что в таблицах ГОСТ направление оси y, соответствует вертикальному положению большой полки уголка (рис. 2), а x – малой, направленной направо.

Следовательно, в рассмотренном примере следует считать, что:

координаты ЦТ для осей проходящих по внешним граням неравнобокого уголка равны

где х_о, у_о – обозначения по ГОСТ (рис. 2),

а моменты инерции для центральных осей x₂-y₂

Переход от центральных осей x-y к главным центральным u-v (рис. 2), для которых центробежный момент равен нулю, происходит путем поворота осей x-y на угол, величина которого определяется по формуле

, (1)

откуда ,

где α - угол поворота центральных осей x-y до совмещения их с главными центральными осями u и v.

В ГОСТ приводится угол между осью y и u, который обозначается как α. Следует помнить, что этот угол не всегда эквивалентен углу формулы (1), поскольку ориентация профиля может быть произвольной, но при повороте осей ось x должна совмещаться с осью u, а ось y с v.

Д ля равнобокого уголка в ГОСТ параллельные полкам центральные оси обозначены как x-y, а главные центральные как x_o-y_o (рис. 3). При определении центробежного момента для центральных осей в этом случае удобно пользоваться формулой, полученной переходом от осей x_o-y_o к осям x-y

. (2)

Угол α всегда равен 45^о, а его знак определяется так, как указано выше. На рис. 4 приведены некоторые примеры различной ориентации неравнобокого и равнобокого уголков, и указаны знаки углов поворота и центробежных моментов инерции для заданных направлений осей x и y.

РПЗ №1б