Аппроксимация, корректность и сходимость разностных схем

Рассмотрим операторное дифференциальное уравнение общего вида (не обязательно линейное):

или

Заменяя дифференциальный оператор А разностным оператором А_h, правую часть f –некоторой сеточной функцией , а точное решение u- разностным решением у, запишем разностную схему:

или

Если подставить сюда точное решение u, то решение, вообще говоря, не будет удовлетворять этому соотношению:

Величину

называют невязкой.

Аппроксимация и её порядок

Пусть имеется область G переменных x = с границей Г и поставлена дифференциальная задача для некоторого уравнения с граничными условиями

(12а)

(12б)

Введем в области G + Г сетку с шагом h, состоящую из множества внутренних (регулярных) узлов и граничных (нерегулярных) узлов . Заменим задачу (12) в регулярных узлах разностным аналогом дифференциального уравнения (12а)

, (13а)

а в нерегулярных узлах–разностным аналогом краевых условий (12б)

(13б)

(индексом h отмечены величины, определенные только на сетке; мы будем далее опускать его там, где это не вызовет недоразумений).

Близость разностной схемы (13) к исходной задаче будем определять по величине невязки

Определение. Разностная схема (13) аппроксимирует дифференциальную задачу (12), если при Аппроксимация имеет р-й порядок, если при

Устойчивость.

Разностная схема

(14)

устойчива, если решение системы разностных уравнений непрерывно зависит от входных данных и эта зависимость равномерна относительно шага сетки. Иными словами, для каждого найдется такое , не зависящее от шага h (по крайней мере, для достаточно малых h), что

если

. (15)

Сходимость разностных схем

Определение. Разностное решение у(х) сходится к решению u(x) задачи, если

при (16)

разностное решение имеет порядок р, если

при (17)

Анализируя сходимость схемы ломаных для обыкновенного дифференциального уравнения, мы видели, что погрешность решения вызвана погрешностью начальных данных и погрешностью аппроксимации, усиливающимися (или ослабляющимися) в ходе расчета. Интуитивно ясно, что для хорошей точности расчета достаточно, чтобы эти погрешности были малы и в ходе расчета не сильно возрастали.

Определение. Разностная схема корректна, если ее решение существует и единственно при любых входных данных и , принадлежащих заданным классам функций, и схема устойчива.

Теорема. Если решение дифференциальной задачи существует, разностная схема корректна и аппроксимирует дифференциальную задачу на данном решении, то разностное решение сходится к точному.

Доказательство. Напишем цепочку преобразований

где есть, по определению, невязка разностной схемы. Делая аналогичное преобразование для краевых условий, получим

(18)

Равенства (18) представляют собой схему с правыми частями, измененными на величину невязки. Поскольку разностная схема устойчива, то для любого найдется такое что если

В силу аппроксимации для любого найдется такое что при .

Следовательно, для любого > 0 найдется такое что при .

Сходимость доказана.

(Эту теорему кратко формулируют так: «Из аппроксимации и устойчивости следует сходимость»).

23