Трехмерные вращения

Выделяются три основных вида вращения:

1. Вокруг координатных осей.

2. Вокруг осей, проходящих через начало координат.

3. Вокруг произвольных осей.

Вращение вокруг произвольной оси, проходящей через начало координат.

Направление оси вращения, задаётся единичным вектором n=n₁i+n₂j+n₃k, где n₁=cos, n₂=cos, n₃=cos (n₁, n₂, n₃ – направляющие косинусы).

Если ось вращения проходит через начало координат и точку А(x₁, y₁, z₁), то

.

Модель сферы, помещенной в пространство так, чтобы ось вращения проходила через начало координат, даёт следующую матрицу вращения:

Трехмерные вращения вокруг координатных осей являются частными случаями обобщенной матрицы вращения.

Трехмерные вращения вокруг координатных осей

Матрица поворота вокруг оси Х на угол  получается из M(R()) при n₁=1 и n₂=n₃=0:

.

Матрица поворота вокруг оси Y на угол  получается из M(R()) при n₂=1 и n₁=n₃=0:

.

Матрица поворота вокруг оси Z на угол  получается из M(R()) при n₃=1 и n₂=n₁=0:

.

В матричной форме рассмотренные преобразования для точки P(x,y,z) запишутся в виде

P*=PM(R(X,)); P*=P·M(R(Y,)); P*=P·M(R(Z,)).

Вращения вокруг осей, проходящих через начало координат, обобщим на случай трехмерного вращения вокруг произвольной оси.

Вращение вокруг произвольной оси. Процедура заключается в переносе изображения вместе с осью вращения, так чтобы ось вращения проходила через начало координат, выполнении вращения и операции обратного переноса в исходное положение. Тогда если ось вращения проходит через точку А = || k m n 1 ||, то преобразованные координаты определяются следующим выражением: P* = P M(Т(-А)) M(R()) M(T(А)), откуда

.

Таким образом, в матрице преобразования 4х4 для трехмерных ОК можно выделить 4 подматрицы.

Обобщённая матрица преобразований в ОК для трёхмерной области

.

Подматрица 3х3 реализует сдвиг, масштабирование, отображение и вращения. Подматрица 1х3 реализует перенос, а подматрица 3х1 преобразование в перспективе. Элемент s выполняет общее изменение масштаба. Влияние подматрицы 3х1 на преобразование изображения рассмотрим в разделе «Проективная геометрия».

Примеры решения типовых задач

Задача 1. Прямая проходит через точки А(5,3) и В(6,8). К прямой применяется ОКП, заданное матрицей с последующим проецированием на плоскость Н=1. Составить уравнение результирующей прямой.

Решение.

Запишем матрицу Р, задающую прямую в ОК .

Найдём матрицу Р^*, получающуюся после применения ОКП .

Выполним операцию проецирования на плоскость Н=1. Для этого нормализуем полученные координаты ,

т.е. получена прямая, проходящая через точки А^*(0.65, 1.5) и В*(0.54, 1.57).

Запишем уравнение прямой А*В*

,

а уравнение прямой АВ: .

т.е. мы трансформировали прямую в .

Задача 2. Найти матрицу ОКП, трансформирующую изображение, заданное матрицей Р в изображение, заданное матрицей Р^*

^.

Решение: Р^* = Р Т, откуда Т = Р^-1 Р^*.

1. Найдем определитель матрицы Р, разложив её по элементам первой строки

Найдём алгебраические дополнения каждого элемента матрицы Р

Из алгебраических дополнений составим матрицу А и после её транспонирования получим матрицу А^t

^.

Получим обратную матрицу , после чего найдём матрицу ;

.

Выполним проверку правильности нахождения матрицы Т, т.е Р  Т = Р^*:

.

Задача 3. Составить матрицу ОКП, трансформирующего точку (x, y ,z, 1) в точку ((x+5y+2z), (6x+y+4z), (2x+3y+z), 1)).

Решение. Запишем ,

что возможно, исходя из правил перемножения матриц, когда матрица

.

Лекции распечатать и взять с собой на лекцию 9 марта или10 марта, если будет перенос. Лекция будет прочитана не под запись.

Ниже показана таблица, из которой видно сколько и на чём можно заработать баллов по модулям

УЧЕБНАЯ КАРТА ДИСЦИПЛИНЫ

«Компьютерная графика ч.1. Основы геометрического моделирования»

Преподаватель Лисяк В.В. Кафедра САПР

Курс 1 Семестр 2 Группы: А 32, 42, 62, 72 Кафедры: САПР, ВТ

Направление подготовки 230100.62 «Информатика и вычислительная техника»

	баллы	М 1	М 2	М 3	Σ
Посещение лекций	2 за 1 лек.	6	6	6	18
Лабораторные раб.	2 за 1 л.р.	10	10	12	32
Контрольная раб. 7, 14, 21 нед.		20	20	10	50
Всего		36	36	28	100

Модуль 1	Max-36; Min-20	(36-32)-отл	(31-26)-хор	(25-20)-удовл
Модуль 2	Max-36; Min-20	(36-32)-отл	(31-26)-хор	(25-20)-удовл
Модуль 3	Max-28; Min-16	(28-25)-отл	(24-20)-хор	(19-16)-удовл

12