Задачи корреляционно-регрессионного анализа:

1. Установление формы связи между переменными и получение в явном виде уравнения регрессии.

2. Оценка тесноты связи между переменными.

ЗАДАЧА 1. Установление формы связи и получение в явном виде уравнения регрессии.

Первоочередная задача регрессионного анализа – установление формы связи, т.е. подбор такой функции, которая как можно лучше характеризовала бы осредненное массовое течение явления.

Выбор формы связи осуществляется на основе знания характера поведения исследуемого процесса (т.е. на основе знания экономической природы самой зависимости и изучаемых показателей), а в крайнем случае – на основе построения (если возможно) по данным наблюдений эмпирических графиков.

В последнем случае: если расположить несгруппированный материал в системе координат, откладывая значения причины на оси абсцисс, а соответствующие им значения следствия на оси ординат, то получим эллипс рассеивания (рис.3.1).

+

+ + + +

+ + +

+ + +

+ + +

+ + +

+ + +

+ + +

Рис.3.1. Эллипс рассеивания

Направление связи определяют по положению точек в системе координат. Если точки находятся слева, снизу, направо, вверх – связь прямая, если же слева, сверху, направо, вниз – связь обратная.

Рассмотрим абстрактный пример.

Пример 3.6.

Пусть в результате наблюдения за экономическим процессом получен ряд из пяти пар чисел , характеризующих (описывающих) данный процесс (X – объясняющая переменная, причина; Y – объясняемая переменная, следствие):

X (причина)	1,0	1,5	3,0	4,5	5,0
Y (следствие)	1,25	1,4	1,5	1,75	2,25

Например, Х – цена предложения товара (грн./шт.), Y – объем предложения товара (тыс.грн.).

Поскольку переменных две, а характер поведения рассматриваемого процесса неизвестен – построим на основе этих эмпирических данных корреляционное поле в декартовой системе координат (рис.3.2).

Корреляционное поле (точечный график; точечная диаграмма рассеивания) – это графическое изображение совокупности реальных статистических данных (данных наблюдений) в виде точек в декартовой системе координат.

Рис.3.2. Корреляционное поле, эмпирическая и теоретическая линии регрессии

Если на корреляционном поле соединить все точки в порядке возрастания Х отрезками прямой получим эмпирическую (наблюдаемую) линию регрессии.

Причем, если в массиве наблюдений некоторому значению X соответствует несколько значений Y, то только для построения эмпирической линии регрессии при каждом таком Х должно быть определено групповое среднее значение Y. Поэтому в общем случае эмпирическая линия регрессии строится по групповым средним значениям Y, которые определены при имеющих место в массиве наблюдений значениях Х, т.е. необходимо поступать так, как в качестве примера показано на рис.3.3.

Рис.3.3. К методике построения эмпирической линии регрессии

Характер эмпирической линии (в общем случае – поверхности) регрессии дает представление об ожидаемом поведении среднего значения Y под влиянием фактора X (в общем случае – под влиянием учтенных факторов).

Статистические данные, представленные в числовом виде (в виде таблицы значений), не всегда удобны и наглядны. Они значительно лучше воспринимаются, если представлены в аналитическом виде, т.е. в виде функций. Можно построить полином. Однако во многих случаях эмпирические данные по Х и по Y не являются достаточно точными (ошибки измерений, влияние других факторов, ограниченный объем массива наблюдений). Поэтому представляет интерес выбор такой аппроксимирующей функции , чтобы значения её находились достаточно близко от известных (наблюдаемых) значений при наблюдаемых значениях , но не обязательно совпадали с ними.

Например, по расположению эмпирической линии регрессии на рис.3.2 можно предположить, что форма корреляционной связи – линейная.

Уравнение парной линейной регрессии:

,

где

- параметры уравнения регрессии.

Линия регрессии, построенная по уравнению регрессии, называется теоретической линией регрессии.

Интерпретация параметров уравнения парной линейной регрессии (рис.3.2):

параметр – это постоянная регрессии, определяющая точку пересечения регрессионной прямой с осью ординат. Например, если Y – валовые издержки, то – это постоянные издержки. Экономическая интерпретация параметра возможна не всегда. В общем случае отражает средний эффект всех факторов, которые влияют на Y за исключением явно включенных в модель;

параметр – это коэффициент регрессии. Отражает наклон линии регрессии, вдоль которой рассеяны данные наблюдений. Параметр может быть интерпретирован как показатель, характеризующий изменение переменной Y, которое вызвано изменением значения Х на единицу, и равняется тангенсу угла наклона на рис.3.2. Знак параметра определяет направление этого изменения. При положительном коэффициенте регрессии с ростом значений Х растет и , при отрицательном – увеличение значений Х сопровождается уменьшением .

При выборе (выявлении) функциональной составляющей связи в качестве меры «близости» часто принимается квадрат расстояния между эмпирической функцией, заданной таблицей значений, и аналитическим аналогом. Такое приближение функции решается методом наименьших квадратов.

Обычный метод наименьших квадратов (МНК)

Суть метода в том, чтобы сумма квадратов отклонений расчетных значений (определенных по теоретической линии регрессии при наблюдаемых значениях ) от наблюдаемых значений была наименьшей.

Метод построения аппроксимирующей функции из этого условия называется методом наименьших квадратов.

В соответствии с идеей МНК необходимо минимизировать функционал

,

где

, - значения переменных в i-том наблюдении (наблюдаемые значения);

- теоретическое (расчетное) значение Y при ;

n - количество наблюдений.

Минимум функционала достигается в той точке, в которой первые частные производные от функционала Q по параметрам и обращаются в ноль:

;

.

В результате получаем систему нормальных линейных уравнений относительно неизвестных параметров и :

;

.

Решив систему, получим:

• коэффициент регрессии

; (3.1)

• постоянная регрессии (свободный член)

, (3.2)

где

- средние значения соответственно X и Y для данного массива наблюдений.

Если фактор Х не оказывает влияния на результат Y, то , линия регрессии параллельна оси абсцисс и .

Данные для расчета параметров уравнения регрессии (пример 3.6):

i	X	Y
1	1,0	1,25	1,00	1,250	1,5625
2	1,5	1,40	2,25	2,100	1,9600
3	3,0	1,50	9,00	4,500	2,2500
4	4,5	1,75	20,25	7,875	3,0625
5	5,0	2,25	25,00	11,250	5,0625
Σ	15,0	8,15	57,50	26,975	13,8975
Σ/5	3,0	1,63	11,50	5,395	2,7795

;

.

Тогда оцененное уравнение парной линейной регрессии в явном виде:

Если бы между Y и X существовала чисто функциональная связь, то все наблюдаемые значения Y лежали бы на теоретической линии регрессии.

Приведение нелинейных парных регрессий к линейному виду по параметрам и по переменным (линеаризация функций)

Достаточно часто между экономическими показателями имеют место нелинейные взаимосвязи. Основной прием, с помощью которого упрощается процесс оценки параметров нелинейных взаимосвязей, – их линеаризация.

Линеаризация – это переход от нелинейной формы связи (гиперболической, показательной, степенной, логарифмической и т.п.) к линейной (по внешнему виду) форме с помощью различных преобразований, что позволяет в дальнейшем оценивать параметры обычным методом наименьших квадратов.

В частности, параметры нелинейных парных регрессий можно также оценивать по выражениям (3.1) и (3.2), произведя предварительно их приведение к линейному виду.

Пример 3.7.

Если прологарифмировать степенную зависимость , то получим её линейную по переменным и по параметрам форму

.

Полученная зависимость линейна относительно и может быть оценена как парная линейная регрессия.

Тогда при оценивании параметров и значения переменных и в выражениях (3.1) и (3.2) должны быть заменены на их логарифмы. Результат же для свободного члена, вычисленный по формуле (3.2), должен быть преобразован путем нахождения его антилогарифма:

.

Пример 3.8.

Пусть

.

Для приведения этой зависимости к линейной (по внешнему виду) форме заменим фактор:

.

Тогда

.

Пример 3.9.

Пусть имеем степенную зависимость

,

где

- константа, значение которой известно.

Замена фактора:

.

ЗАДАЧА 2. Оценка «тесноты» связи между переменными.