2. Гетероскедастичность и ее влияние на свойства оценок параметров модели Понятие гетероскедастичности

Одно из основных предположений классической регрессионной модели состоит в том, что случайные ошибки некоррелированы между собой и имеют одинаковую дисперсию. Условие независимости дисперсии случайных ошибок от номера наблюдения называется гомоскедастичностью (что означает одинаковый разброс, или равенство дисперсии ошибок). Зависимость дисперсии случайных ошибок от номера наблюдения называется гетероскедастичностью (что означает “неодинаковый разброс”).

Таким образом, разброс ошибок вокруг линии регрессии должен быть величиной стабильной. В тех случаях, когда наблюдаемые объекты достаточно однородны, не сильно отличаются друг от друга, такое допущение оправдано.

Однако во многих ситуациях такое предположение нереалистично. Например, если исследуется зависимость расходов на питание в семье от ее общего дохода, то естественно ожидать, что разброс в данных будет выше для семей с более высоким доходом. Это означает, что дисперсии случайных ошибок не постоянны.

Термин гетероскедастичность означает, что ошибки в разных наблюдениях некоррелированы, но их дисперсии – разные.

Характерные диаграммы рассеивания для случаев гомоскедастичности и гетероскедастичности показаны на рис.5.1 и рис.5.2 соответственно. Причем на рис.5.2 представлен случай данных с гетероскедастичными ошибками, когда дисперсия случайной величины увеличивается по мере увеличения Х.

Отрицательные последствия гетероскедастичности ошибок

Отрицательные последствия гетероскедастичности ошибок объясняются двумя причинами.

Рис 5.1. Пример данных с гомоскедастичными ошибками

Рис 5.2. Пример данных с гетероскедастичными ошибками

Первая причина касается дисперсии оценок параметров.

Для обеспечения максимальной точности оценок параметров желательно, чтобы дисперсия оценок параметров была как можно меньше.

Если оценить параметры регрессионной модели при наличии гетероскедастичности ошибок обычным МНК, то свойства несмещенности и состоятельности полученных оценок параметров сохраняются, но свойство эффективности (наименьшая дисперсия оценок) – нет. Т.е. эти оценки уже не будут оценками с минимальной дисперсией.

Напомним сущность свойства эффективности оценки. Несмещенная оценка не всегда дает “хорошее” приближение оцениваемого параметра, т.к. возможные значения оценки параметра могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения, если дисперсия этой оценки значительна. В этом случае найденная по данным одной выборки оценка может оказаться удаленной от оцениваемого параметра. Поэтому следует потребовать, чтобы дисперсия оценки параметра была малой. Это требование называется требованием эффективности оценки: эффективной называют оценку, которая при заданном объеме выборки имеет наименьшую возможную дисперсию.

Вторая причина заключается в том, что сделанные по известным формулам МНК-оценки стандартных ошибок оценок параметров регрессии будут неверны. Они вычисляются на основе предположения о том, что распределение случайных ошибок гомоскедастично. Если это не так, то они неверны. Вполне вероятно, что стандартные ошибки будут занижены, а, следовательно, t-статистики завышены и будет получено неправильное представление о точности оценки уравнения регрессии. Возможно покажется, что параметр значимо отличается от нуля при данном уровне значимости, тогда как в действительности это не так.