4.6. Диференціювання за допомогою пакету Maxima

Пакет Maxima надає потужні засоби для диференціювання функцій і обчислення диференціалів. Для обчислення простої похідної слід в командному вікні після запрошення Maxima ввести команду наступного вигляду:

diff(<функція>,<змінна>);

де <функція> – вираз функції (не обов'язково одній змінній), наприклад 4*х^5+3*x^2-5 ;

<змінна> – ім'я змінної, по якій виконується диференціювання, наприклад x;

За допомогою команди diff можна обчислювати похідні вищих порядків. При цьому ця команда має наступний формат:

diff(<функція>,<змінна>,<порядок>);

де <порядок> - порядок обчислюваної похідної.

Приклади. 1) Знайти похідну другого порядку функції

(%i5) d2:diff((x)^cos(x),x,2);

(%o5) x^cos(x)*(cos(x) /x-log(x)*sin(x))^2+x^cos(x)*(-(2*sin(x)) /x-cos(x)*log(x)-cos(x) /x^2)

2) Знайти похідну третього порядку функції

(%i6) d3:diff(cos(8*x^2),x,3);

(%o6) 4096*x^3*sin(8*x^2)-768*x*cos(8*x^2).

3) Знайти диференціал функції двох змінних

(%i8) diff(2*x*y+y/(3*x));

(%o8) (2*x+1/(3*x))*del(y)+(2*y-y/(3*x^2))*del(x).

4.7. Визначення максимуму і мінімуму функції за допомогою пакету Maxma

Схема дослідження функції у = f(x) на екстремум:

1. Знайти похідну y′ = f ′(x).

2. Знайти критичні точки функції, в яких похідна f ′(x) = 0 або не існує.

3.1. Досліджувати знак похідної зліва і справа від кожної критичної точки і зробити вивід про наявність екстремумів функції.

або

3.2. Знайти другу похідну f ′′(x) і визначити її знак в кожній критичній точці.

4. Знайти екстремуми (екстремальні значення) функції.

Приклад. Досліджувати на екстремум функцію y = x (x − 1)³.

В осередок введення задаємо функцію y = x (x − 1)³

(%i1) f(x):=x*(x-1)^3;

(%o1) f(x):=x*(x-1)^3

1. Визначаємо похідну y′ = f ′(x)

(%i2) define(df(x),diff(f(x),x));

(%o2) df(x):=3*(x-1)^2*x+(x-1)^3

2. Знаходимо критичні точки, в яких похідна f ′(x) = 0

(%i3) solve(df(x)=0,x);

(%o3) [x=1/4,x=1]

3. Визначаємо другу похідну f ′′(x)

(%i5) define(d2f(x),diff(df(x),x));

(%o5) d2f(x):=6*(x-1)*x+6*(x-1)^2

Визначаємо знак другої похідної в кожній критичній точці

(%i6) map(d2f,%o4);

(%o6) [6*(x-1)*x+6*(x-1)^2=9/4,6*(x-1)*x+6*(x-1)^2=0]

У точці друга похідна f ′′(4/3) = 9/4 > 0 , це означає, що функція f(x) в цій точці досягає мінімальне значення

(%i7) f(1/4);

(%o7) -27/256

або (%i25) %o7,numer;

(%o25) -0.10546875

У точці друга похідна f ′′(1) = 0, тому обчислюємо значення функції першою похідною зліва і справа точки .

(%i26) df(9/10);

(%o26) 0.026

(%i27) df(11/10);

(%o27) 0.034

оскільки перша похідна f ′(x) у околиці точки знаку не змінює, то в даній точці функція f(x) екстремуму не має.

Завдання для самостійного розв‘язання

Знайти найменше і найбільше значення функції

4.155. , [1;9] ; Відповідь:

4.156. , [-1;6]; Відповідь:

4.157. , [0;6] ; Відповідь:

4.158. , [-3;3]; Відповідь:

4.159 , [1/2; 2] ; Відповідь: