22 .Як знайти максимум функції декількох змінних?

Максимумом (строгим) функции f (x, y) называется такое значение f(x₁, y₁) этой функции, которое больше всех ее значений f(x, y), принимаемых данной функцией в точках некоторой окрестности точки О(х₁, у₁). (Окрестность может быть весьма малой по своим линейным размерам).

Пусть u = f (x, y) и f (x_o, y_o) - ее минимума . Зафиксируем одну из переменных, например, у, полагая у = у_о, тогда получим функцию одной переменной U₁ = f (x, y_o), которая, очевидно, будет кметь минимум при х = х_о. Отсюда, на основании теории экстремума одной переменной, получаем, что или не существует.

Пусть теперь у=у_о, а х_о- фиксируем, тогда или не существует.

 С л е д с т в и е. В точке экстремума М_о (х_о, у_о) дифференцируемой функции f (x, y) выполнены равенства

Для U = f(x,y, z) в точке М_о (х_{о ,}у_о, z_о) будет выполнено условие .

 З а м е ч а н и е. Точку, в которой частные производные первого порядка либо не существуют, либо равны нулю, называют критической.

Т.е. экстремумы функции нескольких переменных могут достигаться лишь в критических точках.

23.Інтерполяція функції як різновид апроксимації. Інтерполяційний поліном Лагранжа.

 Інтерполяцією називають такий різновид апроксимації, при якій крива побудованої функції проходить точно через наявні точки даних. інтерполяційний поліном Лагранжа
Апроксима́ція (лат. approximare — наближати) — наближене вираження одних математичних об'єктів іншими, простішими, наприклад, кривих ліній — ламаними,ірраціональних чисел — раціональними, неперервних функцій — многочленами.

24.Скінченні та розділені різниці. Інтерполяційний поліном Ньютона.

Розділена різниця — узагальнення поняття похідної. Розділена різниця нульового порядку функції   — сама функція  . Розділена різниця порядку  визначається через розділену різницю порядку   за формулою

.

Для розділеної різниці також справедлива формула

.

З цієї формули слідує, що розділена різниця є симетричною функцією від своїх аргументів (тобто при будь-якій їх перестановці не змінюється), а також те, що при фіксованих   розділена різниця — лінійний функціонал від функції  :  .

Скінченна різниця — математичний вираз виду f(x + b) − f(x + a), що широко використовується в числових методах в методі скінченних різниць для апроксимації значень функції та її похідних.

Нехай маємо такі точки графіка функції: 

Інтерполяційний поліном Ньютона що проходить через ці точки має вигляд:

Якщо підставити в нього  , то отримаємо  .

Далі підставляємо  , і отримуємо, що  , або  .

Коли підставити  , то вийде, що  , або  .

25.Задачі інтерполяції та екстраполяції функції. Методи їх розв’язання.

задачі інтерполяції. На відрізку задано N точок що називаються вузлами інтерполяції, і значення деякої функції в цих точках: Потрібно побудувати функцію ( функцію, що інтерполює ), яка б збігалася з у вузлах інтерполяції і наближала її між ними, тобто таку, що Геометрична інтерпретація задачі інтерполяції полягає в тому, що потрібно знайти таку криву певного типу, що проходить через задану систему точок За допомогою цієї кривої можна знайти наближене значення де Задача інтерполяції стає однозначною, якщо замість довільної функції шукати многочлен степеня не вище N, що задовольняє умови

Інтерполяційний многочлен завжди однозначний, оскільки існує тільки один многочлен степеня N - 1, що в даних точках набуває заданих значень. Існує декілька способів побудови інтерполяційного многочлена.

Формули Ньютона можуть бути використані для екстраполяції функції, тобто для знаходження значень функції значення аргументів якої лежать поза таблицею. Якщо і значення близьке до то вигідно використовувати перший інтерполяційний поліном Ньютона, тоді Таким чином, перша інтерполяційна формула Ньютона застосовується для інтерполювання вперед та екстраполювання назад, а друга - навпаки, для інтерполювання назад та екстраполювання вперед.(

(7.4)

За їх допомогою можна побудувати многочлен

(7.5)

Він називається інтерполяційним поліномом Ньютона для заданої функціії. Ця форма запису більш зручна для застосування, оскільки при додаванні до вузлів нового всі обчислені раніше члени залишаються без зміни, а у формулу додається тільки один доданок. При застосуванні ж формули Лагранжа треба робити всі обчислення знову. Якщо значення функції задані для рівновіддалених значень аргументу (постійну величину називають кроком інтерполяції), то інтерполяційний поліном буде мати вигляд

(7.6)

Тут - скінченні різниці к-го порядку. Вони визначаються за формулою де - біноміальні коефіцієнти.

Порівнюючи цю формулу з попередньою, легко встановити, що при скінчені і поділені різниці пов'язані співвідношенням вигляду

(7.7)

Для практичного використання формулу (7.6) записують у перетвореному вигляді. Для цього введемо нову змінну величину , поклавши - кількість кроків необхідних для досягнення точки із точки Після внесення вказаних величин у вираз для отримаємо першу інтерполяційну формулу Ньютона для інтерполювання вперед, тобто поблизу початку таблиці:

(7.8)

Припустимо, що точка інтерполяції розташована поблизу кінцевої точки таблиці. У цьому випадку вузли інтерполяції слід брати у порядку Формула Ньютона для інтерполювання назад тоді матиме вигляд

(7.9)

Поділені різниці можна виразити через скінчені різниці, якщо скористатися можливістю переставляти в них аргументи, та співвідношенням (7.7), із яких випливає

Введемо змінну поклавши дістанемо для другу інтерполяційну формулу Ньютона для інтерполювання в кінці таблиці

)

30.Многочлени Чебишева для інтерполяції.Многочлен Чебишева го степеня визначається за формулою

(8.1)

При з (7.4) отримаємо перші п'ять многочленів першого роду:

Для визначення многочленів Чебишева часто користуються тригонометричною формою запису

,

(8.2)

що приводить до таких же виразів для , як і формула (7.4).

Із тотожності

при маємо рекурентну формулу

.

Многочлен має коренів, які можна отримати, розв'язавши рівняння

або

	(8.3)
	(8.4)

Доведено, що серед всіх можливих значень на відрізку корені многочлена мають ту чудову властивістю, що для них величина

(8.5)

має найменше за абсолютною величиною максимальне значення. Беручи до уваги (7.7), запишемо

.

(8.6)

. Якщо інтерполювання проводиться на довільному відрізку , то заміною змінної

цей відрізок можна звести до відрізка При цьому корені многочлена будуть знаходитися в точках

Оцінка похибки має вигляд

.