§ 5. Решение вспомогательной задачи оптимального управления

Найдем теперь решение задачи (4.16) – (4.20). Тогда с учетом связи (4.11) – (4.15) между задачами (4.6) – (4.10) и (4.16) – (4.20) мы сможем найти и решение задачи (4.6) – (4.10). При этом нас будет интересовать не собственно само оптимальное управление в этой задаче, а соответствующее ему решение краевой задачи (4.7) – (4.10).

Для решения задачи (4.16) – (4.20) воспользуемся принципом максимума Л. С. Понтрягина. При этом отметим, что с учетом замечаний 1 и 3 достаточно рассмотреть только тот случай, когда оба неравенства (4.25) являются строгими.

Функция Гамильтона в задаче (4.16) – (4.20) имеет вид

, (5.1)

поэтому сопряженное уравнение, в свою очередь, выглядит следующим образом:

. (5.2)

В соответствии с принципом максимума можно утверждать, что для оптимального управления в задаче (4.16) – (4.20) найдется такая постоянная

(5.3)

и такое нетривиальное решение сопряженного уравнения (5.2), что для них и для решения уравнения (4.17), соответствующего оптимальному управлению , при почти всех справедливо равенство

,

которое в рассматриваемой задаче принимает вид

(5.4)

Отсюда видно, что если величина

(5.5)

знакоопределенная, то точка максимума функции, стоящей справа в равенстве (5.4), единственная и в силу того, что , эта точка совпадает либо с точкой , если величина (5.5) отрицательная, либо, соответственно, с точкой , если величина (5.5) положительная. Поэтому

(5.6)

Любое решение (4.21) однородного дифференциального уравнения (4.17) с начальными условиями (4.19) является положительным, поэтому положительным будет и любое решение краевой задачи (4.17) – (4.20). Следовательно,

, . (5.7)

Кроме того, в формуле (5.6)

, (5.8)

так как , а .

Поэтому из формул (5.6) и условий (5.7) и (5.8) следует, что

(5.9)

Для дальнейшего уточнения вида оптимального управления запишем решение сопряженного уравнения (5.2) по формуле Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения 1-го порядка

, (5.10)

где

.

Заметим, что функция не является знакопостоянной на интервале . Действительно, если бы решение было знакопостоянным на этом интервале, то из формулы (5.9) следовало бы, что оптимальное управление либо имело бы вид

,

либо имело бы вид

,

а это в соответствии с замечанием 2 означало бы, что одно из нестрогих неравенств (4.25) должно выполняться как равенство. Это, однако, противоречит сделанному предположению, что оба эти неравенства строгие.

Обозначим выражение, стоящее в квадратных скобках в правой части равенства (5.10). Так как функция тождественно не равна нулю и не является знакопостоянной на интервале , то теми же свойствами обладает и функция . Поэтому неравенство (5.3) должно быть строгим:

(5.11)

(в противном случае функция была бы тождественно равна постоянной ).

Поскольку ранее было сделано предположение о том, что при почти всех , то на основании неравенства (5.11) можно утверждать, что функция является возрастающей, а так как она к тому же не является знакопостоянной на интервале , то уравнение , а следовательно, и уравнение имеет на этом интервале единственное решение . В силу того что в точках , функции и имеют одинаковые знаки, при и при . Поэтому теперь можно уточнить, что формула (5.9) имеет вид

(5.12)

Для окончательного определения вида оптимального управления найдем точку его переключения . Поскольку для оптимального управления решение дифференциального уравнения (4.17) должно удовлетворять краевым условиям (4.19) и (4.20), то, зная вид оптимального управления, ясно, что для отыскания точки нужно:

1) найти соответствующее управлению решение уравнения (4.17) , которое удовлетворяет начальному условию (4.19);

2) найти соответствующее управлению решение уравнения (4.17) , которое удовлетворяет начальному условию (4.20);

3) решить относительно уравнение

. (5.13)

Решение этого уравнения и будет искомой точкой .

Интегрируя уравнение (4.17) при указанных управлениях и начальных условиях, получим

, (5.14)

. (5.15)

Подставляя эти формулы в формулу (5.13) и разрешая относительно полученное уравнение, найдем точку :

(5.16)

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Лемма 3. Если оба неравенства (4.25) выполняются как строгие, то в задаче (4.16) – (4.20) существует единственное, с точностью до эквивалентности измеримых по Лебегу функций, оптимальное управление, которое имеет вид (5.12), при этом точка переключения оптимального управления находится по формуле (5.16).

Из определения решений и уравнения (4.17) с учетом вида оптимального управления следует, что соответствующее этому управлению решение краевой задачи (4.17) – (4.20) имеет вид

а в явном виде в силу установленных формул (5.14) и (5.15)

(5.17)

Учитывая связь между задачей (4.16) – (4.20) и задачей на максимум функционала (4.6) при ограничениях (4.7) – (4.10), решение последней задачи найдем теперь по формуле

. (5.18)

Подставляя выражение (5.17) в формулу (5.18) и учитывая, что согласно формулам (4.13) – (4.15) , , , получим

(5.19)

где в соответствии с формулой (5.16)

(5.20)

.

Таким образом, нами доказана следующая лемма.

Лемма 4. Если оба неравенства (4.27) выполняются как строгие, то решение задачи на максимум функционала (4.1) при ограничениях (4.2) – (4.4) имеет вид (5.19), где точка находится по формуле (5.20).

Заметим, что указанное в лемме 4 решение не зависит от выбранной функции , причем эта лемма доказана здесь при дополнительном предположении о том, что функция дифференцируема и имеет при почти всех положительную производную.