2)Корреляционные связи между двумя величинами. Линии регрессии. Способы вычисления коэффициентов уравнения регрессии.

Форма и теснота корреля­ционной связи могут быть выражены аналитически, но обычно исследо­вание начинают не с расчетов, а с графического анализа зависимости в двухмерном пространстве. По оси абсцисс откладывают значения од­ного свойства, по оси ординат - другого. Совокупность наблюдений образует облако точек (рис. 14).

Рис.14. Облако точек, условные центры

Распределения и линия регрессии у на х.

Г

рафический анализ заключается в изучении формы и ориентировки облака точек. Если все точки располо­жены вдоль линии, то связь функциональная, если облако точек изометричное - связь отсутствует. Чаще облако точек вытянуто в виде эллип­са в каком-то направлении, характеризуя нестрогую корреляционную зависимость между свойствами.

Если мы возьмем на оси х произвольные точки х₁, х₂ , х₃, то каж­дой из них будут соответствовать наборы значений у со своими средними значениями (рис.14). Эти средние называются ус­ловными центрами распределения (среднее значение у равно при условии, что х = х_i ).

Соединив между собой множество условных центров распределения, мы получаем линию регрессии, которая является гра­фическим выражением формы связи между х и у. Урав­нение этой линии называется функцией или уравнением регрессии. Системе из 2-х величин всегда будет соответст­вовать две линии регрессии: у_х = f(х) и х_у = f(у). Регрессия может быть линейной (когда линии регрессии - прямые линии) и нели­нейной. Для линейной регрессии уравнения будут иметь следующий вид;

у =а₁ +в₁х (регрессия у на х );

х =а₂ +в₂у (регрессия х на у )

Линии регрессии пересекаются в точке, имеющей координаты и .

Коэффициенты уравнения регрессии могут быть получены непосред­ственно с графика (рис. 15). Угол γ характеризует при этом т е с н о т у связи между х и у . Чем меньше γ , тем ближе связь к функциональной.

Р

ис. 15. Графики уравнений линейной регрессии

в₁ = tg α; в₂ = tg β

Более точный, аналитический способ нахождения коэффициентов уравнения линейной регрессии из результатов опыта предложен Лежандром и Гауссом:

а₁ = , (43)

в₁ = , (44)

Билет №8

1)Факторный анализ.

Факторный анализ решает три типа задач:

1)Сокращение размерности пространства признаков: множество переменных заменяется 3-4-мя факторами, несущими практически ту же информацию. Это значительно облегчает интерпретацию многомерных геологических данных

2)Распознавание образов: эталонные и испытуемые объекты геометризуются в координатах главных факторов так же, как это делается в дискриминантном анализе.

3)Множественная регрессия: предсказание восстановленных значений переменных по значениям факторов.

Название «факторный анализ» объединяет несколько самостоятельных процедур: метод главных компонент (МГК), R–метод факторного анализа, Q–метод факторного анализа и др. Все эти методы основаны на выделении собственных значений и собственных векторов ковариационной или корреляционной матрицы.

Метод главных компонент позволяет выявить группы элементов, наиболее тесно связанных с тем или иным мощным фактором. Элементы, однонаправлено изменяющие свое состояние под действием общего фактора, могут быть объединены в ком­бинации, называемые главными компонентами. Число последних намного меньше исходного числа параметров, в то же время они несут практи­чески всю полезную информацию об изменчивости свойств, заключенную в исходной совокупности.

Главные компоненты вычисляются по формулам:

1ГК = = ω₁₁·х₁ + ω₂₁х₂ + . . . . +ω_n1х_n ; (71)

2ГК = ;

3ГК = и т.д..

Здесь х_i - значения параметров, ω_ij - факторные нагрузки (это влия­ние j -го фактора на i -й элемент, т.е. своего рода коэффициент корреляции между ними).

Таким образом, для нахождения главных компонент нам необходимо вычислить матрицу факторных нагрузок W. Она определяется из соот­ношения:

W = (72)

где и - матрица собственных векторов, а Λ - матрица собственных чисел корреляционной матрицы R .

Таблица 14.

Матрица факторных нагрузок W

Фактор	Fe	Mg	Ca	Na	K
F1 F2 F3	0,75 -0,57 -0,10	0,75 -0,52 -0,28	0,65 -0,05 0,76	0,63 0,66 -0,15	0,67 0,61 -0,17

Модель R – метода выражается в следующем виде:

Хj =

где f_k – к-й общий фактор, ε – случайная компонента, присущая исходной переменной а_ik – факторная нагрузка i-го элемента на k-й фактор.

В Q-методе факторного анализа, в отличие от R-метода, анализируются взаимосвязи между наблюдениями, а не переменными.

Факторный анализ связан с разделением общей дисперсии (разброса значений) на составные части, каждая из которых связана с воздействием своего фактора. Если полную дисперсию представить в виде эллипсоида, то его оси (их длина и наклон) отражают вклад каждого из факторов в общую дисперсию.

Исключив из рассмотрения ненужные оси, мы можем произвести вращение оставшихся факторных осей таким образом, чтобы выделенные группы наилучшим образом расположились в новых координатах. В наиболее часто используемом методе (метод варимакс Кайзера ) вращение осуществляется до тех пор, пока проекции каждой переменной на факторные оси не окажутся близкими либо к нулю, либо к ±1. Чаще всего такое вращение приводит к тому, что для каждого фактора мы получаем несколько больших значений нагрузок и много близких к нулю. Это существенно облегчает содержательную интерпретацию факторов. Если же вращение факторных осей лишь ухудшает первоначальный результат, это свидетельствует либо о взаимной коррелированности факторов, либо о неприменимости выбранной факторной модели.

Графическое представление процедуры вращения факторных осей для двумерного случая дано на рис. 25.

Рис. 25. Вращение факторных осей для

двумерного случая.

Проекции векторов переменных на факторные оси соответствуют их факторным нагрузкам. Видно, что после вращения разделение элементов на группы значительно улучшилось. При этом длина векторов и их относительное положение не изменились.

Таким образом, факторный анализ сочетает в себе преимущества и возможности как методов группирования, так и распознавания образов. В частности, он может быть использован как вариант множественной регрессии для вычисления востановленных значений переменной:

Хвосст. = ,

где S – диагональная матрица т х т оценок стандартов т переменных;

ω_j – факторная нагрузка j фактора;

Z´_j – вектор-строка значений фактора j ;

- среднее значение параметра по выборочным данным;

ε΄ -вектор-строка размером N (число наблюдений) вида {1, 1, 1, . . . . 1}.

Таким способом можно оценить влияние каждого выделенного фактора (процесса) на распределение конкретного элемента и геометризовать в пространстве интенсивность этого влияния. Эта задача обычна при создании генетических моделей и прогнозо-поисковых комплексов.