Восстанавливаемая техническая система с дублированием
Структурное резервирование с возможностью восстановления отказавших элементов является наиболее эффективным способом обеспечения надежности технических систем и снижения техногенного риска. Однако, поскольку применение резервирования ведет к удорожанию системы, наиболее часто применяется резервирование кратностью m=1 (дублирование).
Введем состояния дублированной системы: 0 – обе системы (основная и резервная) работоспособны; 1 – одна система работоспособна, другая восстанавливается; 2 – обе системы восстанавливаются. Графы состояний системы приведены на рис. 2.
Функционирование системы описывается следующей системой дифференциальных уравнений:
(8)
где коэффициент
позволяет учитывать режим работы резерва
(
–
для ненагруженного режима,
– для нагруженного), а коэффициент
(
=1
или
=2)
соответствует числу каналов восстановления
(обслуживающих бригад).
Решая (8) при
начальных условиях
определим
,
(9)
где
.
Если система
работает до
первого отказа
(рис.2,а), то попав в состояние 1, она
восстанавливается (т.е. имеется один
канал восстановления, но в уравнениях
(8,9) следует принять
),
а первое же попадание в состояние 2
означает отказ (т.е. после его возникновения
эксплуатация системы прекращается).
Тогда, вероятность безотказной работы
системы равна
,
(10)
среднее время безотказной работы
.
(11)
Среднее время безотказной работы дублированной системы без восстановления при нагруженном и ненагруженном режимах работы резерва, соответственно
.
(12)
Отношение
характеризует выигрыш в среднем времени
безотказной работы за счет восстановления.
Для получения показателей надежности системы многократного использования (рис.2,б), (т.е., после попадания в состояние 2, система восстанавливается) в уравнения (8,9) следует подставить нужное значение , при этом функция готовности:
,
(13)
коэффициент готовности:
,
(14)
среднее время восстановления:
,
(15)
средняя наработка на отказ:
.
(16)
Предельные
вероятности состояний
при
можно определить, если в (8) положить
и учесть
.
При наличии одного
канала восстановления (
),
с учетом обозначения
:
,
(17)
при наличии двух
каналов восстановления (
):
.
(18)
Средняя наработка на отказ для случая нагруженного резерва ( ):
,
(19)
для ненагруженного:
.
(20)
Функция риска для системы с дублированием
,
(21)
где r – потери из-за отказа системы в условных единицах.