Алгоритм определения упорядоченной последовательности кт
Для определения состояния системы необходимо, чтобы вектор Yj доставлял в среднем количество информации, равное неопределенности (энтропии) состояния системы
(2)
Реально вектор Yj доставляет в среднем количество информации:
(3)
В качестве количественной меры глубины поиска дефекта введём коэффициент глубины диагностирования:
(4)
Актуальны следующие задачи:
1. определение минимального множества точек контроля, необходимого для обеспечения заданной глубины диагностирования;
2. определение глубины диагностирования при заданном множестве точек контроля.
Для решения указанных выше задач необходимо упорядочить точки контроля по количеству информации, которое они доставляют. В качестве первой точки контроля выбираем точку, которая доставляет максимальное количество информации, а в качестве каждой последующей выбираем точку, которая доставляет максимальное дополнительное количество информации.
Пример 5. Заданы матрица проверок и вероятности отказов блоков.
q1=q2=q3=q4=0,1.
Определить коэффициент глубины диагностирования К.
Алгоритм решения:
1. Определить множество состояний системы {Si}, i= n, где n – число блоков.
2. Определить вероятности состояний p(Si), i= n (формула 1).
3. Для каждого состояния с помощью матрицы В определить вектор Yj.
4. Заполнить таблицу 1, устанавливающую соответствие между Si и Yj.
Таблица 1
Y1T=(000) |
S1T=(0000) |
Y2T=(101) |
S2T=(1000) S3T=(1010) |
Y3T=(010) |
S4T=(0100) |
Y4T=(100) |
S5T=(0010) |
Y5T=(110) |
S6T=(0001) S7T=(0101) S8T=(0110) S9T=(0011) S10T=(0111) |
Y6T=(111) |
S11T=(1100) S12T=(1001) S13T=(1110) S14T=(1011) S15T=(1101) S16T=(1111) |
5. Определить вероятности появления векторов P(Yj) как сумму вероятностей состояний, соответствующих каждому из векторов.
P(Y1)=0,6561
P(Y2)=0,0729+0,0081=0,081
P(Y3)= P(Y4)=0,0729
Р(Y5)=0,0729+3*0,0081+0,0009=0,0981
P(Y6)=2*0,0081+3*0,0009+0,0001=0,019
6. Определить H(S), H(Y)(формулы 2,3). H(S)=0,5648, H(Y)=0,505, K=0,894.
Пример 6. Заданы матрица проверок и вероятности отказов блоков:
q1=q2=q3=q4=0,1.
Упорядочить точки контроля по количеству доставляемой информации.
На первом шаге алгоритма в качестве матрицы проверок выступают поочерёдно строки исходной матрицы (номер строки соответствует номеру рассматриваемой КТ), а результат измерений равен 0 либо 1. Результаты расчетов оформлены в виде таблицы 2. Выбираем КТ1, доставляющую максимальное количество информации (К =0,454).
На втором шаге алгоритма матрица проверок состоит из двух строк: к выбранной строке добавляются поочерёдно оставшиеся строки исходной матрицы. Результаты расчётов оформлены в виде таблицы 3. Выбирается КТ2, доставляющая максимальное дополнительное количество информации.
Таблица 2
№ строки |
Результат измерения |
Состояния системы ST |
p(Y) |
H(Y) |
K |
1
|
Y1=0 |
(0000) (0100) |
0,73 |
0,257 |
0,454 |
Y2=1 |
все остальные |
0,27 |
|||
2 |
Y1=0
|
(0000) (1000) (0010) (1010) |
0,81 |
0,21 |
0,37 |
Y2=1 |
все остальные |
0,19 |
|||
3 |
Y1=0 |
(0000) (0100) (0010) (0001) (0110) (0101) (0011) (0111) |
0,9 |
0,14 |
0,25 |
Y2=1 |
все остальные |
0,1 |
Таблица 3
№ строк |
Результат измерения |
Состояния системы ST |
p(Y) |
H(Y) |
К |
1,2 |
Y1=(00) |
(0000) |
0,6561 |
0,437 |
0,77 |
Y2=(01) |
(0100) |
0,0729 |
|||
Y3=(10) |
(1000) (0010) (1010) |
0,1539 |
|||
Y4=(11) |
Все остальные |
0,1171 |
|||
1,3 |
Y1=(00) |
(0000) (0100) |
0,729 |
0,331 |
0,585 |
Y2=(10) |
(0010) (0001) (0110) (0101) (0011) (0111) |
0,171 |
|||
Y3=(11) |
Все остальные |
0,1 |
Программа p1.exe реализует процедуру статистического моделирования, что позволяет определить упорядоченную последовательность КТ и определить вероятность правильного определения состояния системы по результатам измерений на выбранном множестве КТ. Для определения упорядоченной последовательности точек контроля реализован следующий алгоритм:
1. энтропия вектора S при заданных значениях вероятностей отказов блоков находится априорно по формуле (2);
2. проводится N испытаний, в каждом из которых генерируется вектор состояния S;
3. для каждого вектора состояния определяется вектор результатов измерений Y: Y=BS;
4. c каждым появившимся вектором Y связывается счетчик, который увеличивается на единицу при очередном появлении такого вектора;
5. производится вычисление энтропии вектора Y.
Для определение упорядоченной последовательности КТ представим матрицу проверок В в виде:
,
где
,
– строки исходной матрицы В.
На первом шаге в качестве матрицы проверок выступают поочерёдно строки исходной матрицы. При выборе каждой строки производится вычисление энтропии вектора результатов измерений по изложенному выше алгоритму. Окончательно, в качестве матрицы проверок на первом шаге выбирается та строка исходной матрицы, которой соответствует максимальное значение энтропии H(Y), что равносильно выбору первой КТ, номер которой определяется номером выбранной строки.
При выборе k-ой точки перебираются все возможные матрицы проверок
,
где V – множество номеров строк исходной матрицы B, не задействованных в матрице Bk-1. В качестве окончательной матрицы Bk выбирается такая матрица Bkj, для которой энтропия вектора Y окажется максимальной, а к множеству КТ, полученном за к-1 шагов добавляется очередная точка, соответствующая выбранной строке.
На каждом шаге алгоритма вычисляется коэффициент глубины диагностирования, соответствующий выбранному множеству КТ. Результатом работы программы, реализующей данный алгоритм, является диаграмма значений коэффициента глубины диагностирования на выбранном множестве КТ. На рис.1 приведена диаграмма, полученная для условий примера 5 .
Рис.1. Диаграмма значений коэффициента глубины диагностирования