2. Числовые характеристики случайных величин, заданных своими распределениями

Основными характеристиками случайной величины, заданной своими распределениями, является математическое ожидание ( или среднее значение ) и дисперсия.

Математическое ожидание случайной величины является центром ее распределения. Дисперсия характеризует отклонение случайной величины от ее среднего значения.

Если Х дискретная случайная величина, значения х_i которой принимают с вероятностью p_i, так, что , то математическое ожидание М (Х) случайной величины Х определяется равенством

M (X) = ,

т.е. суммой произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины является аналог его дискретного выражения

M (X) = ^.

Действительно, все значения в интервале (х; х  х) можно считать примерно равными х, а вероятность таких значений равна  (х) dx (см. ранее). Поэтому значения х_i дискретного распределения заменяются х, а вероятности p_i  на  (х) dx, а сумма заменяется интегралом.

Дисперсией или рассеянием случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата разности случайной величины и ее математического ожидания.

D (Х)  М Х  М (Х)²  М (Х  х)²  ² (х)

Если случайная величина Х дискретна и принимает значения х_i с вероятностями p_i, то случайная величина (Х  х)² принимает значения (х_i  х)² с вероятностями Р_i. Поэтому для дискретной случайной величины имеем

D (X) = ^.

Аналогично для непрерывной случайной величины получаем

D (X) = ^.

Чем меньше величина дисперсии, тем лучше значения случайной величины характеризуются ее математическим ожиданием.