4. Определение доверительного интервала для математического ожидания случайной величины
В рассмотренном способе оценки числовых характеристик случайных величин неизвестный параметр определялся одним числом. Такая оценка называется точечной. При оценке надежности машин и оборудования часто требуется не только найти для заданного параметра числовое значение, но и оценить его точность и достоверность. Пусть для параметра X (например, математического ожидания) получена по результатам выборочного обследования точечная оценка этого параметра X.
Требуется определить
ошибку замены параметра X
его точечной
оценкой X.
Назначим
некоторую вероятность
(
= 0,9) и
определим такое значение ошибки
> 0, для
которого
.
Это равенство
означает, что с вероятностью
неизвестное
значение параметра X
попадает в
интервал
.
Интервал
называется доверительным, а
- доверительной
вероятностью.
Рассмотрим зависимости, используемые при построении доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону.
Для математического ожидания границы доверительного интервала определяют по формуле
,
где t - коэффициент распределения Стьюдента, определяемый по таблицам в зависимости от доверительной вероятности и числа степеней свободы или размера выборки N -1, ( t= 1,658)
Доверительный интервал для математического ожидания ресурса согласно формуле:
Iβ=(4,812; 5,848)
Вывод:
Таким образом, точное значение ресурса автомобилей или их агрегатов до капитального ремонта с вероятностью 0,99 находится в пределах от 4,812 до 5,848 тыс. км пробега.
Список использованных источников
Кузнецов Н. И., Абакумов Н. В. Надежность машин и оборудования: Методические указания и задания к выполнению расчетных работ и задач. - Архангельск: Изд-во АГТУ, 2001. - 36 с.
Кузнецов Н. И., Абакумов Н. В. Надежность машин и оборудования: Нормативно справочный материал к выполнению расчетных работ и задач. - Архангельск: Изд-во АГТУ, 2003. - 14 с.
2