Мощность множества

Для конечных множеств, только которые и рассматриваются в нашем курсе, мощность множества совпадает с количеством его элементов. Мощность множества А обозначается М(А). Мощность множества тесно связана с классическим определением вероятности, которое будет изучаться в нашем курсе, поэтому мы остановимся на нем подробнее.

Имеют место равенства:

(1) М(Ø) = 0

(2) М(AB) = М(А) + М(В) - М(A  B)

(3) М(A \ B) = М(А) - М(A  B)

Следствия:

(с1) Если М(A  B) = 0, то М(AB) = М(А) + М(В)

(с2) Если М(A  B) = 0, то М(A \ B) = М(А)

(с3) Если М(В \ А) = 0, то М(A \ B) = М(А) - М(В)

ПРИМЕР 1

А = {2, 3, 4, 7}

B = {3, 4, 5}

A  B = {3, 4}

A  B = {2, 3, 4, 5, 7}

A \ B = {2,7}

М(А)=4

М(В)=3

М(A  B)=2

М(A  B)=3+4-2=5

(Если внимательно посмотреть на эти выкладки, мы увидим, что при суммировании М(А) + М(В) М(A  B) суммируется дважды, поэтому и нужно ее вычесть. В данном примере дважды суммируются элементы 3 и 4)

М(A \ B)=4-2=2

ПРИМЕР 2 (задача на применение этих формул).

Имеется 2 дополнительных курса: математика и физика.

В группе 30 учащихся и все из них занимаются на дополнительных курсах, 20 занимаются математикой, 15 занимаются физикой.

Сколько учащихся занимается только математикой?

РЕШЕНИЕ.

В данном случае U = вся группа. М(U) = 30.

А – множество учащихся, занимающихся математикой.

В - множество учащихся, занимающихся физикой.

М(AB) = М(U) = 30. Так как, по условию, нет учащихся, не занимающихся дополнительно.

Нам нужно найти М(A \ B). Нужно применить формулу (3). Найдем М(A  B) из формулы (2).

М(A  B) = М(А) + М(В) - М(AB)= 35-30=5.

Тогда М(A \ B) = М(А) - М(A  B)=20-5=15.

Наглядно решение этой задачи можно представить такой диаграммой.

Сравним ее с диаграммой исходного условия

Очевидно, первая диаграмма гораздо больше и нагляднее освещает для нас суть ситуации.

Эта несложная задача показывает, как теория множеств может помочь педагогу выявить скрытые параметры ситуации, сложившейся в учебном процессе, и представить их наглядно. Может возникнуть впечатление, что такие задачи можно решать «в лоб» на основе обычной школьной арифметики. Это впечатление ложно. Чтобы в этом убедиться, достаточно попробовать решить эту же задачу для 3 учебных предметов.

Наглядное представление мощности множеств

Следствия с1-с3 показывают нам, что особый интерес представляют системы подмножеств, попарные пересечения которых между собой пусты. Действительно, в этом случае арифметические операции над мощностью соответствующих подмножеств оказываются простыми естественными и наглядными. В связи с этими соображениями рассмотрим важное для дальнейшего понятие.

Набор подмножеств В₁ … В_n называется разбиением множества Ώ, если B_i  B _j = Ø при i ≠ j и

В₁  … В_n= Ώ

Рис 1. Разбиение

Диаграмма относительной мощности для разбиения — это модификация диаграммы Эйлера-Венна, обычно называемая круговой диаграммой. На круговой диаграмме значения представлены в виде циклических секторов общего круга. Длина дуги или площадь каждого сектора пропорциональна ее значению. Пример круговой диаграммы для разбиения на Рис.1:

Круговые диаграммы дают компактное и наглядное представление о соотношении мощностей компонентов разбиения.

Круговые диаграммы дают наглядное представление о долях каждого подмножества, его относительном вкладе в суммарное множество Ώ.

Круговые диаграммы дают также наглядное представление о вероятности (в классическом смысле этого слова) каждого подмножества, если его рассматривать как множество событий. Подробнее эта интерпретация будет рассмотрена в соответствующем разделе данного курса «Теория вероятностей».

Многие отчетные данные педагога просят представлять в виде диаграмм. Диаграммы также являются эффективным приемом обеспечения наглядности представления информации в учебном процессе. Владение этими средствами наглядности и программными инструментами, облегчающими их построение — важная компонента компетентности современного учителя. При работе с круговыми диаграммами нельзя забывать, что отображаемые ими системы подмножеств должны образовывать именно разбиение, иначе наглядность такой диаграммы может ввести в заблуждение. Педагог должен знать определение разбиения и уметь проверять его наличие.