4.2. Нарахування складних відсотків

Відсотковий дохід за складними відсотками (капіталізація відсотків) визначається таким чином: після закінчення розрахункового періоду на суму вкладу нараховується відсоток і отримана величина приєднується до суми вкладу; у наступному розрахунковому періоді відсоткова ставка застосовується до нової вже збільшеної суми. Складні відсотки доцільно застосовувати у тому випадку, коли виплата відсоткового доходу здійснюється по закінченні терміну дії депозитної угоди.

Розрахунок їх суми здійснюється за формулою:

I = S – P = P (( 1 + i )ⁿ –1) , (1.8.)

де i _– ставка процентів на періоді їх нарахування

n – ціле число періодів нарахування процентів.

Сума вкладу, нарощеного за рахунок процентів, визначається за формулою:

S = P (1 + i ) ⁿ , (1.9.)

Звідси :

Приклад: Депозит в сумі 50 тис. грн.. розміщено в банк на 3 роки. Визначити суму нарахованих процентів за простою і складною ставками, що дорівнює 8% річних.

Рішення: За простою ставкою: I = 50 000 х 3 х 0,08 = 12000 грн.

За складною: I = 50 000 (( 1 + 0,08)³ – 1) = 12985,6 грн.

Якщо термін вкладу в роках не є цілим числом, тоді проценти можуть нараховуватися за двома методами:

- за схемою складних відсотків: (степінь не ціле число);

- за змішаною схемою: , де:

n – ціле число років

b - дрібна частина року.

Оскільки b<1, то (1+і_*b)>(1+і) ^b, то нарощена сума буде більшою при використанні змішаної схеми.

Приклад:

Банк надає позику в розмірі 10 тис. гр.од. на 30 місяців під 30% річних на умовах щорічного нарахування процентів. Яку суму потрібно буде повернути банку по закінченні строку ?

Розв’язок: ;

;

Приклад: Банк нараховує проценти на депозит за складною ставкою 15% річних. Визначити суму процентів, якщо вклад в сумі 100 000грн був вилучений через 2,5 роки.

Рішення:

S = 100 000 х (1 + 0,15)² (1 + 0,5 х 0,15) = 142 168,75 грн.

Звідси сума процентів = 142 168,75 – 100 000 = 42 168,75 грн.

Нарахування складних відсотків може здійснюватися періодично декілька разів у році (місяць, квартал, півріччя). В цих випадках зазначається або ставка процентів за період, або річна ставка процентів, виходячи з якої визначається ставка процентів періоду.

Нарощена сума вкладу через n періодів розраховується за формулою:

S = P (1 + i) ⁿ = P (1 + i/m)^nm , де: (1.11.)

i – річна ставка процентів;

m – кількість періодів нарахування протягом року;

n –кількість років зберігання вкладу.

Сума нарахованих процентів становитиме:

I = S – P = P ((1 + i) ⁿ – 1)) = P ((1 + i/m)^nm – 1)) (1.12.)

Приклад: Складні проценти за вкладом нараховуються щоквартально за річною ставкою 16%. Визначити суму процентів, нарахованих на вклад 200 тис. грн. за два роки

Рішення: (за формулою 1.12.)

I = P ((1 + i/m)^nm – 1)) = 200 000(( 1 + 0,16/4 )^2x4 – 1) = 73713,81 грн.

В тих випадках, коли внески на депозит вносяться рівними сумами через рівні періоди (у фінансовій практиці такий грошовий потік називається ануїтет), а проценти будуть нараховуватись за складною ставкою, то сума вкладу з нарахованими процентами визначається за формулами, розрахунок яких залежить від таких факторів:

– коли здійснюються внески – в кінці періоду, чи на його початку;

– як часто нараховуються проценти – щорічно, чи кілька разів протягом року;

Відповідно, існують два способи визначення і нарахування відсотків.

Декурсивний спосіб використовується, коли внески здійснюються в кінці періоду. Сума депозиту з % визначається за 2-ма варіантами:

1). Якщо внески щорічні і періодичність нарахування % також = 1 рік

де R – розмір річного внеску; (1.13.)

Приклад: На депозитний рахунок в кінці кожного року вноситься по 5 000 грн, протягом 5 років, на які будуть нараховуватись складні проценти за ставкою 10% річних. Визначити S та I.

грн.

Сума всіх внесків буде дорівнювати: P = 5 000 х 5 = 25 000 грн.

Відповідно, сума нарахованих відсотків буде:

І = 30 525, 5 – 25 000 = 5 525,5 грн.

Із формули для нарощеної суми при послідовних внесках можна визначити розмір щорічного внеску при інших заданих умовах

(1.14)

Приклад : На щорічні внески на банківський депозит будуть нараховуватись складні відсотки за ставкою 15% річних. Визначити конкретний розмір щорічних внесків, необхідний для накопичення через 5 років суми в 100 000 грош. одиниць

2). Якщо внески щорічні і нарахування % здійснюються періодично протягом року

(1.15)

Приклад: R = 200; n = 2; m = 12 (що міс. внески за що міс. нарахування %); і = 0,2. Визначити S та I.

І = S – R n m = 57 284 – 48 000 = 9 284

Антисипативний спосіб використовується, коли внески здійснюються на початку періоду. Сума депозиту з % визначається також за 2-ма варіантами:

1). Якщо внески щорічні і періодичність нарахування % також = 1 рік

(1.17)

Приклад : На депозитний рахунок в кінці кожного року вноситься по 5 000 грн, протягом 5 років, на які будуть нараховуватись складні проценти за ставкою 10% річних. Визначити S та I.

33 578 грн.

Звідси розмір щорічного внеску: (1.18)

2). Якщо внески щорічні і нарахування % здійснюються періодично протягом року