4.1. Примеры решения задач

№ 1. По отрезку прямого провода длиной l = 80 см течет ток I = 50 А. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого этим током в точке А, равноудаленной от концов отрезка провода и находящейся на расстоянии r₀ = 30 см от его середины.

Р е ш е н и е.

Для решения задачи воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа

(1)

и принципом суперпозиции магнитных полей:

, (2)

где символ l означает, что интегрирование распространяется на всю длину провода, магнитная индукция, создаваемая элементом тока в точке, определяемой радиус-вектором ; ₀ - магнитная постоянная;  - магнитная проницаемость среды, в которой находится провод (в нашем случае  = 1). Векторы от различных элементов тока сонаправлены, поэтому выражения (1), (2) можно переписать в скалярной форме:

, ,

где  есть угол между вектором и радиус-вектором . Таким образом,

. (3)

Выразим длину элемента провода dl через угол d: dl = rd/sin.

Запишем выражение в виде Переменная r также зависит от  (r = r₀/sin), следовательно: . Таким образом, выражение (2) можно переписать в виде , где ₁ и ₂ - пределы интегрирования.

Выполним интегрирование:

(4)

При симметричном расположении точки А относительно отрезка провода cos ₂ = -cos ₁. С учетом этого формула (4) примет вид

. (5)

Из рис.2 следует

Подставив выражение cos₁ в формулу (5), получим

. (6)

Произведя вычисления по формуле (6), получим В = 26,7 мкТл.

№ 2. Два бесконечно длинных провода D и С, по которым текут в одном направлении токи силой I = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого проводниками в точке А. (см. рис.), отстоящей от оси одного проводника на расстояние r₁ = 5 см, от другого на r₂ = 12 см.

Р е ш е н и е.

Для нахождения магнитной индукции в точке А воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей: = ₁+ ₂.

Модуль вектора может быть найден из теоремы косинусов

Рис. 3

, (1)

где  - угол между векторами ₁ и ₂.

Магнитные индукции ₁ и ₂ выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r₁ и r₂ от проводов до точки А

В₁ = ₀I/(2r₁); B₂ = ₀I/(2r₂).

Подставляя выражения В₁ и В₂ в формулу (1), получаем

. (2)

Вычислим cos по теореме косинусов ( = DAC как углы с соответственно перпендикулярными сторонами), d² = r₁² + r₂² - 2r₁r₂cos,

где d - расстояние между проводами. Отсюда

Подставим в формулу (2) числовые значения физических величин и произведем вычисления:

= 308 мкТл.

№ 3. По тонкому проводящему кольцу радиусом R = 10 см течет ток I = 80 А. Найти магнитную индукцию в точке А, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r = 20 см.

Р е ш е н и е.

Для решения задачи воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа:

,

где d - магнитная индукция поля, создаваемого элементом тока I в точке, определяемой радиус-вектором .

Выделим на кольце элемент и от него в точку А проведем радиус-вектор (рис. 4). Вектор d направим в соответствии с правилом буравчика.

Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукция в точке А определяется интегрированием: , где интегрирование ведется по всем элементам dl кольца.

Разложим вектор d на две составляющие: перпендикулярную плоскости

кольца d _ и параллельную d _, т.е. .Тогда ,

Рис. 4

из соображений симметрии, а векторы от различных элементов dl сонаправлены, следовательно , где dB_ = dBcos и dB = (поскольку перпендикулярен , то sin = 1). Таким образом, , где cos = R/r (см. рис 4). Окончательно получим: .

Выразим все величины в единицах СИ и произведем вычисления:

Вектор направлен по оси кольца в соответствии с правилом буравчика.

№ 4. Длинный провод с током I = 50 А изогнут под углом  = (2/3).. Определить магнитную индукцию в точке А (см. рис. 5). Расстояние d = 5 см.

Рис. 5

Рис. 5

Р е ш е н и е.

Изогнутый провод можно рассматривать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О (Рис. 5) В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная индукция в точке А будет равна геометрической сумме индукций ₁ и ₂ магнитных полей, создаваемых отрезками длинных проводов 1 и 2, т.е. = ₁ + ₂.

Магнитная индукция ₂ равна нулю. Это следует из закона Био-Савара-Лапласа, согласно которому в точках, лежащих на оси провода, d  = 0, т.к. [d ]= 0.

Магнитную индукцию B₁ найдем, воспользовавшись соотношением (4), из примера 1: где r₀ - кратчайшее расстояние от провода 1 до точки А (см. рис. 5)

В нашем случае ₁0 (провод длинный), ₂ = = 2/3. Расстояние r₀ = d sin( - ). Тогда магнитная индукция .

Так как B =B₁ (B₂ = 0), то .

Вектор сонаправлен с вектором ₁ и направление его определяется правилом правого винта. На рис. 5 это направление отмечено крестиком в кружочке (перпендикулярно плоскости чертежа, от нас).

Произведем вычисления:

№ 5. Два бесконечно длинных провода скрещены под прямым углом (см. рис. 6) По проводам текут токи I₁ = 80 A и I₂ = 60 A. Расстояние d между проводами равно 10 см. Определить магнитную индукцию в точке А, одинаково удаленной от обоих проводов.

Р е ш е н и е.

В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей индукция магнитного поля, создаваемого токами I₁ и I₂, определяется

Рис. 6

выражением = ₁ + ₂, где ₁ - индукция магнитного поля, созданного в точке А током I₁; ₂ - индукция магнитного поля, созданного в точке А током I₂ (направление отмечено точкой в кружочке - перпендикулярно плоскости чертежа к нам).

Векторы ₁ и ₂, взаимно перпендикулярны, их направления находятся по правилу буравчика, и изображены в двух проекциях на рисунке. Модуль можно определить по теореме Пифагора (см. рис. 6)

,

В₁ и В₂ определяются по формулам расчета магнитной индукции для бесконечно длинного прямолинейного провода с током:

и .

В нашем случае r₀ = d/2. Тогда .

Произведем вычисления: .

№ 6. Бесконечно длинный провод изогнут так, как изображено на рис.7. Радиус R дуги окружности равен 10 см. Определить индукцию магнитного поля, создаваемого в точке О током I = 80 А, текущим по этому проводу.

Р е ш е н и е.

Магнитную индукцию в точке О найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей: .

Рис. 7

В нашем случае провод можно разбить на три части (см. рис 7): два прямолинейных провода (1 и 3) , одним концом уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиуса R. Тогда , где , и - индукции магнитных полей в точке О, создаваемые током первого, второго и третьего участков провода.

Так как точка О лежит на оси провода 1, то = 0 и тогда = + . Учитывая, что векторы и направлены в соответствии с правилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, геометрическое суммирование можно заменить алгебраическим: В = В₂ + В₃.

Магнитную индукцию В₂ найдем, воспользовавшись выражением для магнитной индукции в центре кругового тока: .

В нашем случае магнитное поле в точке О создается лишь половиной кругового тока, поэтому .

Магнитную индукцию В₃ найдем, применив соотношение (4), пример 1: .

В нашем случае r₀ =R, ₁ = /2 (cos ₁ = 0), ₂  (cos ₂ = -1). Тогда .

Используя найденные выражения, получим В = В₂ + В₃ = + ,

ли .

Произведем вычисления:

№ 7. По двум параллельным прямым проводам длиной l = 2 м каждый, находящихся на расстоянии d = 20 см друг от друга, текут одинаковые токи I = 1 кА. Вычислить силу взаимодействия токов.

Р е ш е н и е.

Взаимодействие двух проводов, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создает магнитное поле, которое действует на другой провод.

Предположим, что оба тока (обозначим их I₁ и I₂) текут в одном направлении. Ток I₁ создает в месте расположения второго провода (с током I₂) магнитное поле, направление вектора магнитной индукции определяется по правилу буравчика. Модуль магнитной индукции В₁ задается соотношением

. (1)

Согласно закону Ампера, на каждый элемент второго провода действует в магнитном поле сила . Так как вектор перпендикулярен вектору , то и тогда dF = I₂B₁dl.Подставив в это выражение значение В₁, получим .

Силу F взаимодействия токов найдем интегрированием:

.

Учитывая, что I₁= I₂ = I, получим

.

Произведем вычисления:

Рис. 8

Сила сонаправлена с силой d , а направление d определяется правилом левой руки.

№ 8. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U = 600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить радиус R окружности.

Р е ш е н и е.

Движение заряженной частицы в одно­родном магнитном поле будет происходить по окружности только в том случае, если частица влетит в магнитное поле перпендикулярно линиям индукции: . Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору , то она сообщает Рис. 9

частице (протону) нормальное ускорение _n .

Согласно второму закону Ньютона,

, (1)

где m - масса протона. На рис. 9 совмещена траектория протона с плоскостью чертежа и дано (произвольно) направление вектора скорости . Силу Лоренца направим перпендикулярно вектору к центру окружности (векторы _n и сонаправлены.). Используя правило левой руки, определим направление магнитных силовых линий (направление вектора ).

Перепишем выражение (1) в скалярной форме (в проекции на радиус):

F_л = ma_n . (2)

В скалярной форме F_л = qvBsin . В нашем случае и sin  = 1, тогда F_л = qvB. Так как нормальное ускорение a_n = v²/R, то выражение (2) перепишем следующим образом: qvB = m v²/R. Отсюда выразим радиус окружности:

R = mv/(qB). (3)

Скорость протона найдем, воспользовавшись связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии протона, т.е. А = W, или q(₁ - ₂) = W₂ - W₁, где (₁ - ₂) = U- ускоряющая разность потенциалов (или ускоряющее напряжение); W₁ и W₂ - начальная и конечная кинетические энергии протона.

Пренебрегая начальной кинетической энергией протона W₁  0, и, учитывая, что W_к = mv²/2, получим qU = mv²/2.

Найдем из этого выражения скорость и подставим ее в формулу (3), в результате получим

(4)

Произведем вычисления:

№ 9. Электрон, влетев в однородное магнитное поле (В = 0,2 Тл), стал двигаться по окружности радиуса R = 5 см. Определить магнитный момент р_m эквивалентного кругового тока.

Р е ш е н и е.

Электрон начинает двигаться по окружности, если он влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции.

Движение электрона по окружности эквивалентно току, который в данном случае определяется выражением: где е - заряд электрона; Т - период его обращения.

Период обращения можно найти через скорость электрона и путь, проходимый электроном за период Т = (2R)/ v. Тогда

(1)

По определению, магнитный момент контура с током выражается соотношением

P_m = I_эквS, (2)

где S - площадь, ограниченная окружностью, описываемой электроном S = R². Учитывая (1), (2) и (3), получим Р_m = или

Известно, что R = mv/(еB) (см. пример 8). Тогда для скорости v электрона находим . Подставив это выражение в (4) для магнитного момента P_m электрона получим

Произведем вычисления:

№ 10. Электрон движется в однородном магнитном поле по винтовой линии, радиус R которой равен 1 см и шаг h = 6 см. Определить период Т обращения электрона и его скорость v.

Р е ш е н и е.

Электрон будет двигаться по винтовой линии, если он влетает в однородное магнитное поле под некоторым углом (  /2) к линиям магнитной индукции. Разложим, как это показано на рис. скорость электрона на две составляющие: параллельную

Рис. 10 вектору индукции и перпендикулярную ему ( ). Скорость в магнитном поле не изменяется и обеспечивает перемещение электрона вдоль силовых линий. Скорость в результате действия силы Лоренца будет изменяться только по направлению (в отсутствие параллельной составляющей скорости движение электрона происходило бы по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитным силовым линиям). Таким образом, электрон будет участвовать одновременно в двух движениях: равномерном со скоростью и равномерном движении по окружности со скоростью .

Период обращения электрона связан с перпендикулярной составляющей скорости соотношением

. (1)

Найдем отношение R/v_. Сила Лоренца сообщает электрону нормальное ускорение a_n = v²/R. Согласно второму закону Ньютона F_л = ma_n или

(2)

где v_ = v·sin. Получим соотношение R/ v_ = m/eB и подставим его в формулу (1);

(3)

Произведем вычисления:

Модуль скорости v определяем через v_|| и v_: .

Из формулы (2) выразим перпендикулярную составляющую скорости:

Параллельную составляющую скорости v_|| найдем из следующих соображений. За время, равное периоду обращения Т, электрон пройдет вдоль силовой линии расстояние, равное шагу винтовой линии, т.е. h = Tv_||, откуда v_|| = h/T. Подставив вместо Т правую часть выражения (3), получим

Таким образом, модуль скорости электрона

Произведем вычисления:

№ 11. Альфа-частица прошла ускоряющую разность потенциалов U = 104 В и влетела в скрещенные под прямым углом электрическое (Е = 10 кВ/м) и магнитное (В = 0,1 Тл) поля. Найти отношение заряда q  - частицы к ее массе m, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям, частица не испытывает отклонений от прямолинейной траектории.

Р е ш е н и е.

Для того, чтобы найти отношение заряда q  - частицы к ее массе m, воспользуемся связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии частицы: qU = mv²/2, откуда

(1)

Скорость v альфа-частицы определим из следующих соображений. В скрещенных электрическом и магнитном полях на движущуюся частицу действуют две силы: сила Лоренца F_л = q направленная перпендикулярно скорости и вектору магнитной индукции ; кулоновская сила F_к = qE, сонаправленная с вектором напряженности электростатического поля.

Направим вектор магнитной индукции вдоль оси Оz, а вектор вдоль оси Oy (см. рис.), скорость - в положительном направлении оси Ох, тогда силы и будут направлены так, как показано на рис. 11.

Рис. 11 Альфа-частица не будет испытывать отклонения, если геометрическая сумма сил Кулона и Лоренца будет равна нулю + = 0. В проекции на ось Оу получим равенство ( при этом  и sin = 1): qE - qvB = 0, откуда

v = E/B (2)

Подставив (2) в формулу (1), получим

Произведем вычисления:

№ 12. Короткая катушка, содержащая N = 10³ витков, равномерно вращается с частотой n = 10 с^-1 относительно оси АС, лежащей в плоскости катушки и перпендикулярной линиям индукции однородного магнитного поля (В = 0,04 Тл). Определить мгновенное значение э.д.с. индукции  для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол  = 60⁰ с линиями поля. Площадь S катушки равна 100 см².

Р е ш е н и е.

Мгновенное значение э.д.с. индукции _i определяется законом Фарадея

. (1)

Потокосцепление  = NФ, где N - число витков катушки, пронизываемых магнитным потоком Ф. Подставив это выражение в формулу (1), получим

. (2)

При вращении катушки магнитный поток Ф, пронизывающий катушку, изменяется по закону Ф =BS·cos = BS·cost, где В - магнитная индукция; S - площадь катушки;  - угол между и ;  - угловая скорость вращения.

Подставив в формулу (2) выражение магнитного потока Ф и, продифференцировав по

Рис. 12 времени, найдем мгновенное значение э.д.с. индук­ции: _i = ωNBS·sint.

Учитывая, что угловая скорость вращения  катушки связана с частотой вращения n соотношением  = 2n и что угол t = /2 -  (см. рис.), sin(/2 - ) = cos, получим _i = 2nNBS·cos .

Произведем вычисления: _i = 23,141010³0,0410^-20,5 = 25,1 В.

№ 13. Квадратная проволочная рамка со стороной а = 5 см и сопротивлением R = 10 мОм находится в однородном магнитном поле (В = 40 мТл). Нормаль к плоскости рамки составляет угол  = 30⁰ с линиями магнитной индукции. Определить заряд q, который пройдет по рамке, если магнитное поле выключить.

Р е ш е н и е.

При выключении магнитного поля произойдет изменение магнитного потока. Вследствие этого в рамке возникнет э.д.с. индукции Возникшая э.д.с. индукции вызовет в рамке индукционный ток, мгновенное значение которого можно определить по закону Ома для полной цепи I_i = _i/R, где R - сопротивление рамки. Тогда .

Так как мгновенное значение силы индукционного тока I_i = dq/dt, то предыдущее выражение можно переписать в виде ,

откуда

(1)

Проинтегрировав выражение (1), найдем или .

При выключенном поле Ф₂ = 0, и последнее равенство перепишется в виде q = Ф₁/R. (2)

По определению магнитного потока Ф₁ = BS·cos. В нашем случае площадь рамки S = а². Тогда

Ф₁ = Ва²cos. (3)

Подставив (3) в (2), получим .

Произведем вычисления: .

№ 14. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (В = 1 Тл). Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол  = 90⁰. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Р е ш е н и е.

На контур с током в магнитном поле действует момент силы (см. рис. 13)

M = p_mB sin, (1)

где p_m = IS= Ia² - магнитный момент контура; В - индукция магнитного поля;  - угол между векторами (направлен по нормали к контуру) и .

По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент силы равен нулю (М = 0), а значит, угол  = 0, т. е. векторы и сонаправлены. Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла поворота ), то для подсчета работы применим

Рис. 13 формулу работы в дифференциальной форме dA = Md . Учитывая формулу (1), получаем dA = IBa²sin d.

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол . Работа при повороте на угол  = 90⁰

(2)

Произведем вычисления: А = 100 1 (0,1)² = 1 Дж.

Задачу можно решить другим способом.

Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, пронизывающего контур: А = -IФ = I(Ф₁ - Ф₂), где Ф₁ - магнитный поток до перемещения, Ф₂ - после. Ф₁ = BScos0⁰ = BS; Ф₂ = BScos90⁰ = 0. Следовательно, А = IBS = IBa², что совпадает с формулой (2).

№ 15. На железный стержень длиной 50 см и сечением 2 см² намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится 20 витков. Определить энергию магнитного поля в сердечнике соленоида, если сила тока в обмотке 0,5 А.

Р е ш е н и е.

Энергия магнитного поля соленоида с индуктивностью L, по обмотке которого течет ток I, выражается формулой:

. (1)

Индуктивность соленоида зависит от числа витков на единицу длины n, от объема сердечника V и от магнитной проницаемости  сердечника, т.е. L = ₀ n²V, где ₀ = магнитная постоянная.

Магнитную проницаемость можно выразить следующей формулой: где В - индукция магнитного поля, Н - напряженность.

Подставив в формулу (1) выражение индуктивности L и магнитной проницаемости, получим .

Объем сердечника выразим через длину l и сечение S

Напряженность магнитного поля найдем по формуле: Н = nI.

Подставив данные в единицах СИ, получим: Н = 210³ 0,5 А/м = 10³ А/м.

Значению напряженности намагничивающего поля в 10³ А/м в железе соответствует индукция В = 1,3 Тл (см. график зависимости между Н и В в приложении).

Произведем вычисления:

№ 16. Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающих друг к другу витков медного провода. Диаметр провода 0,2 мм, диаметр соленоида – 5 см. По соленоиду течет ток 1 А. Определить, какое количество электричества протечет через обмотку, если концы ее замкнуть накоротко. Толщиной изоляции пренебречь.

Р е ш е н и е.

Количество электричества dq, которое протекает по проводнику за время dt при силе тока I, определяется равенством: dq = Idt. Общее количество электричества, протекшее через проводник за время t будет: q = .

Сила тока в данном случае убывает экспоненциально со временем и выражается формулой: где I₀ - сила тока до замыкания, R - сопротивление обмотки соленоида, L - индуктивность соленоида.

Внося выражение для силы тока I под знак интеграла и интегрируя от 0 до  (при t  , I  0), получим:

Подставим пределы интегрирования и определим количество электричества, протекающее через обмотку.

(1)

Найдем L и R. Индуктивность соленоида

. (2)

Сопротивление обмотки соленоида

(3)

Подставляя (2) и (3) в (1) и учитывая, что , получим:

.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАГНЕТИЗМУ

1. Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены перпендикулярно друг к другу и находятся в одной плоскости (см. рис.) Найти напряженность магнитного поля в точках М₁ и М₂, если I₁ = 2 A и I₂ = 3 A. Расстояние АМ₁ = АМ₂ = 1 см, СМ₁ = ВМ₂ = 2 см.

2. По плоскому контуру из тонкого провода течет ток I = 100 А. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого этим током в центре окружности (см. рис.). Радиус R изогнутой части контура равен 20 см.

3. По прямому горизонтально расположенному проводу проходит ток I₁ = 5 А. Под ним находится второй, параллельный ему алюминиевый провод такой же длины, по которому пропускают ток I₂ = 1 А. Расстояние между проводами d = 1 см. Какова должна быть площадь поперечного сечения второго провода, чтобы он находился в состоянии равновесия незакрепленным?

4. В средней части соленоида, содержащего n = 8 витков/см, помещен круговой виток диаметром d = 4 см. Плоскость витка расположена под углом  = 60⁰ к оси соленоида. Определить магнитный поток Ф, пронизывающий виток, если по обмотке соленоида течет ток I = 1 А.

5. Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра (протона) по окружности радиусом R = 53 пм. Определить магнитный момент P_m эквивалентного кругового тока.

6. Альфа–частица прошла ускоряющую разность потенциалов U = 300 В и, попав в однородное магнитное поле, стала двигаться по винтовой линии радиусом R = 1 см и шагом h = 4 см. Определить магнитную индукцию В поля.

7. В однородном магнитном поле, индукция которого равна 0,1 Тл, вращается катушка, состоящая из 200 витков. Ось вращения катушки перпендикулярна ее оси и направлению магнитного поля. Период обращения катушки равен 0, 2 с, площадь поперечного сечения катушки 4 см². Найти максимальную э.д.с. индукции во вращающейся катушке.

8. Источник тока замкнули на катушку сопротивлением R = 10 Ом и индуктивностью L = 0,2 Гн. Через какое время сила тока в цепи достигнет 50% максимального значения?

6.1. Физические константы:

Элементарный заряд е = 1,6 10^-19 Кл;

Масса покоя электрона m = 9,110^-31 кг;

Электрическая постоянная ₀ = 8,86 10^-12 Ф/м;

Магнитная постоянная ₀ = 4 10^-7 Г/м;

1 эВ = 1,6·10^-19 Дж;

1 а.е.м. = 1,67·10^-27 кг.

Воск Вода Керосин Масло

7,8 81 2 5

Парафин слюда Стекло Фарфор

2 6 6 6

Эбонит Парафинированная бумага

2,6 2