Статистическая обработка результатов многократных измерений

Обработка результатов многократных измерений, согласно ГОСТ 8.207

«ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки

результатов наблюдений. Основные положения», заключается в нахождении

результата измерения ФВ и доверительного интервала, в котором находится ее

истинное значение.

Исходной информацией для обработки является ряд из n (n > 4) результатов

единичных измерений x₁, x₂ …,x_n, из которых исключены известные

систематические погрешности. Число измерений зависит от требований к

точности получаемого результата и от реальной возможности выполнения

повторных измерений [1, 8, 13, 14].

Последовательность обработки результатов многократных измерений включает в

себя следующие основные этапы:

1. исключение из результатов измерений известных систематических

2. погрешностей;

3. вычисление среднего арифметического значения  измеряемой величины

4. из n единичных результатов  по формуле:

 ;

3)    вычисление средней квадратической погрешности (СКО) единичных

измерений в ряду измерений  по формуле

                            

4)    исключение промахов (грубых погрешностей измерений);

5)    вычисление средней квадратической погрешности результата измерений

среднего арифметического

                                            

5. вычисление доверительных границ случайной погрешности результата

6. измерений  по формулам (3.4) и (3.5);

7) вычисление доверительных границ погрешности результата измерений ± ;

Обработка результатов косвенных измерений.

В тех случаях когда физическая величина не может быть измерена

непосредственно, прибегают к косвенным измерениям.

Пусть для нахождения величины N пришлось измерить какие-то величины x, y

и z. Величины N, x, y, z связаны функциональной зависимостью N = f(x, y, z).

В этом случае средняя абсолютная ошибка ΔN_ср может быть найдена по

правилам дифференцирования, если знак дифференцирования d заменить

знаком ошибки Δ и выбрать знаки таким образом, чтобы величина ошибки была

максимальной, то есть

dN = (∂N/∂x) dx + (∂N/∂y) dy +(∂N/∂z) dz и

Δ N = (∂N/∂x) Δx + (∂N/∂y) Δy +(∂N/∂z) Δz

То есть абсолютная ошибка функции одного аргумента равна абсолютной

ошибке аргумента, умноженной на производную этой функции).

Относительная погрешность равна E = ∆N_ср / N_ср,

А так как дифференциал натурального логарифма d(ln N) = dN / N, то

Δ (ln N_ср) = Δ N_ср / N _ср, или E = Δ N_ср / N_ср = Δ (ln N_ср)

Таким образом, относительная ошибка результата равна полному

дифференциалу натурального логарифма функции, определяющей зависимость

данной величины от измеряемых величин. При вычислении надо брать сумму

абсолютных значений дифференциалов всех членов логарифма (все частные

ошибки складываются) с заменой знаков d знаком Δ .

Определение погрешности для косвенных измерений удобно проводить по

следующей схеме:

1. Вычисляем относительную погрешность измерения

E = Δ N_ср / N_ср

Для этого следует:

а) прологарифмировать расчетную формулу;

б) найти от логарифма полный дифференциал;

в) сгруппировать все члены, содержащие одинаковый дифференциал и

выражения в скобках, стоящие перед диференциалом, взять по модулю;

г) заменить все дифференциалы d независимых переменных

абсолютными ошибками измерений Δ, а все минусы перед дифференциалами

заменить плюсами, так как все частные ошибки складываются.

Глава 2. Задача №1 Провести статистическую оценку нагрузки аппроксимации результатов эксперементального исследования температуры кривой,в виде прямолинейной зависимости вида t( )=а+в( ). Решение: t( )=7+2( ) № τ t1 t2 t3 t4 1 0 7.6 8 7.40 7.5 2 1 11.7 12.7 11.4 11.1 3 2 15.9 16.5 15.8 16.1 4 3 20.4 20.1 20.6 20.4 5 4 24.3 24.6 24.2 24.0 6 5 28.7 28.1 28.4 28.6 Изобразим графически заданную зависимость t( ) и распределим экспериментально полученные точки.
					ТГТУ. 280700. 207 ПЗ	Лист
						18
Изм	Лист	N документа	Подп.	Дата

Задача 1: Провести статистическую оценку нагрузки аппроксимации результатов эксперементального исследования температуры кривой,в виде прямолинейной зависимости вида t( )=а+в( ). Решение: t( )=7+2( ) Одно из значений выборки для точки №2 сильно отличается от других,поэтому необходимо проверить эту выборку на статистическую однородность. Проверку осуществляют с помощью r-критерия = = =11.7 =0+1+0.09+0.36=1.45 = =0.48 Из таблици t-распределения при уровне доверительной вероятности 0,95 и степени свободы (n-1=3): t=3,182 r<t следовательно выборка является статистически однородной. Для дальнейших расчетов принимаем для этой выборки =11.7 и =0.48. Проверим статистическую однородность всего эксперимента, вычислив критерий Фишера: = Для этого необходимо вычислить дисперсии каждой из выборок: =
					ТГТУ. 280700. 207 ПЗ	Лист
						19
Изм	Лист	N документа	Подп.	Дата

Точка 1. = =0+0.16+0.04+0.01=0.21 =0.7. Точка 3. =16.01 =0.04+0.16+0.09+0=0.29 = =0.096. Точка 4. =20.4 5 =0+0.09+0.04=0.13 = =0.043. Точка 5. =24.3 =0+0.09+0.01-0.09=0.19 =0.063.
					ТГТУ. 280700. 207 ПЗ	Лист
						20
Изм	Лист	N документа	Подп.	Дата

Точка 6.

=28.5

=0.04+0.16+0.01=0.21 =0.7.

Результаты вычисления дисперсий:

=7.6

=11.7

=0.096

=0.043

=0.063

=0.7

=0.7 =0.043

F= =16.3

=9,28 <

Результаты эксперимента в целом не являются статически однородными.

Проверим адекватность математической модели, воспользовавшись

критерием Фишера.

=

=

t( )=5+4( )

=t(0)=7+2*0=7

=76.79

=

Аналитическая зависимость t( )=7+2( ) плохо описывает экспериментальные

данные.

Задача 2:

Определить погрешность экспериментального определения плотности

материала с использованием образца в виде цилиндра. Измерение разрезов

образца проведено микрометром. Масса определяется на весах. Требуется

определить все виды погрешностей.

Диаметр D	2	4	4	4
Длина L	9	9	9	9
Масса m	97	97	95	95

Найдем абсолютную погрешность измерения диаметра образца D. Т.к. одно из

значений выборки сильно отличается от остальных,необходимо

проверить принадлежность этого значения к выборке т.е. проверить

ее на статистическую однородность с помощью r критерия.

r=

=7

= =25+9+9+9=52

= = =4,16

r= =1,2

t=3,182

=0,95

= - 2-7= -5

=4-7=-3

=4-7=-3

=4-7=-3

= = =3,5

Определить абсолютную погрешность измерения длины и построим

доверительный интервал для экспериментально полученных данных.

=9

= ;

= =0

=0

=0

= -

9 - 9 = 0

= 9 - 9 = 0

= 9 – 9 = 0

= 9 – 9 = 0

= -

.

= =

= 0

( - ; + , (9;9)

9

Определим абсолютную погрешность измерения образца и проведем выборку на

статистическую однородность с помощью доверительного интервала.

=96

= ;

= =4

=1,15

= =

= -

=97-96=1

=97-96=1

=95-96=-1

=95-96=-1

= = =1

= =1,9

Доверительный интеграл имеет вид ( - ; + , x€ (94,1 ; 97,9)

94,1 96 97,9

Вычислим относительную погрешность определения плотности цилиндрическо-

го образца. Для этого будем рассматривать плотность как функцию трех

переменных: массы, диаметра и длины.

ρ = ; V=L ; ρ = ; V= ; ρ =

=

Принимаем F=ρ= ; =D; =L; =m, тогда F=

F= =0,3

= = =-

=- =-0,71

= = =-

=- =-0,03

= = =

= =0,003

= (

= (17,72+12,46+12,23)=417,2

= =21,7

Вычислим абсолютную погрешность определения плотности по формуле

=

Необходимые для расчета данные были получены ранее

17,72+12,46+12,23=42,41

= =6,51

Определим среднеквадратичное отклонение

Ϭ=

= =24,86

Ϭ= =4,9