2. Метод в.К.Иванова нахождения псевдоре­шений.

Комментарий. Нахождение псевдорешений обычно сложная задача, эквивалентная задаче выпуклого программирования (отыскание экстре­мумов многомерных, многопараметрических функций при некоторых ограничениях).

Определение. Псевдорешением (квазиреше­нием) задачи , где , а и - банаховы пространства, называется любое решение , минимизирующее невязку на компакте , где Таким образом, . Тогда , где .

Ясно, что если проекция одна, то решение единственное. Если проекция не одна, то под псевдорешением понимается любой элемент из множества псевдорешений.

Теорема 3. Проекция на множество будет единственной, если множество выпук­лое. (Например, любое гильбертово пространство).

. Пусть имеется две проекции , то есть . По определению вы­пуклого множества

. Пусть , , тогда можно запи­сать равенство параллелограмма:

. Так как , то есть , то

.

Теорема 4. Пусть однородное уравнение имеет только нулевое решение, множе­ство выпукло, а всякая сфера в пространстве строго выпукла. Тогда квазирешение уравнения на компакте единственно и непре­рывно зависит от правой части и.

Пусть квазирешение и . Так как множество выпукло, то в силу линейности опе­ратора множество также выпукло. Оче­видно, что есть проекция элемента на множество . В силу того, что сфера в простран­стве по условию теоремы строго вы­пукла, проекция определяется однозначно. Да­лее доказательство завершается, как в теореме 3.

Рассмотрим применение проекционных мето­дов для алгебраизированной задачи, то есть для СЛАУ.

3. Несовместные системы. Метод матрицы Грама

3.1. Проецирование на заданные линейные обо­лочки

Решение многих задач, имеющих практиче­ское значение, не существует по определению. Это тот случай, когда в решении задачи есть не­кий компромисс между противоречивыми требо­ваниями. Если так или иначе задана или легко оп­ределима какая-либо ортонормированная система, то получаем задачу минимизации невязки. В случае СЛАУ часто невыгодно искать ОНС. Проще осуществлять проецирование на заданные линейные оболочки. Пусть невязка, ли­нейная оболочка , искомый вектор , где неизвестные. Так как , то есть , то запишем это усло­вие ортогональности:

Получим симметрическую, всегда совместную СЛАУ. Главная матрица системы – матрица Грама . Таким спо­собом мы найдем решение, принадлежащее линейной оболочке , с минимальной невязкой.

П ример. Найти проекцию вектора х={2,-5,3,4} на линейную оболочку , где = {1,3,3,5}, = {1,3,-5,-3}, = {1,-5,3,-3}.

Решение с минимальной невязкой, принадлежа­щее линейной оболочке , то есть псев­дорешение, имеет вид . Следова­тельно, , а

3.2. Метод наименьших квадратов

Комментарий. Восстанавливая траектории комет по на­блюдениям, Лежандр (1806 г.) и Гаусс (1809 г.) поставили и решили задачу нахождения значений параметров , связывающих набор экспе­риментальных данных , полученных с неиз­бежными систематическими и случайными ошибками. Естественно, надо провести как можно большее число измерений, то есть , где число независимых параметров. Функция, свя­зывающая экспериментальные данные , известна априори, как и результаты измерений и _. Причём каждое измерение да­вало линейное соотношение между ними вида . Необходимо найти зна­чения параметров . Это типичная не­корректная задача. Идея её решения состояла в том, чтобы определить решение как такое, кото­рое минимизирует сумму квадратов отклонений всех измерений, то есть квадратичный функцио­нал невязки . Тогда .

хi	1	2	3	4	5
уi	6,1	7,1	6,6	4,6	5,1

Пример. Пусть проведено 5 измерений и зависимость между ними задана таблицей.

, , ,

.

Тогда уравнение прямой имеет вид .

Если связать эту задачу с предыдущим при­мером, то мы получим линейную оболочку и задача ставится так: найти проекцию вектора на линейную оболочку то есть псевдорешение. , = {6,1 ; 7,1 ; 6,6 ; 4,6 ; 5,1} a₁ = {1,2,3,4,5}, a₂ = {1,1,1,1,1}.

Пусть теперь . Тогда . Этот метод называется методом наименьших квадратов или методом не­вязки.

Пример. Получить псевдорешение системы:

Составим матрицу Грама. , где .

Тогда правая часть получившейся СЛАУ (31,91 ; 245,28), а решение имеет вид .