Оценка случайных погрешностей. Доверительная вероятность и доверительный интервал

Для количественной оценки случайных погрешностей и установления границ случайной погрешности результата измерения могут использоваться:

– предельная погрешность,

– интервальная оценка,

– числовые характеристики закона распределения.

Выбор конкретной оценки определяется необходимой полнотой сведений о погрешности, назначением измерений и характером использования их результатов. Комплексы оценок показателей точности установлены стандартами.

Предельная погрешность Δ_m – погрешность, больше которой в данном измерительном эксперименте не может появиться. Теоретически, такая оценка погрешности правомерна только для распределений, границы которых четко выражены и существует такое значение ± Δ_m , которое ограничивает возможные значения случайных погрешностей с обеих сторон от центра распределения (например, равномерное).

На практике такая оценка есть указание наибольшей погрешности, которая может встретиться при многократных измерениях одной и той же величины.

Недостатком такой оценки является то, что она не содержит информации о характере закона распределения случайных погрешностей. При арифметическом суммировании предельных погрешностей получаемая сумма может значительно превышать действительные погрешности.

Более универсальными и информативными являются квантильные оценки.

Площадь, заключенная под всей кривой плотности распределения погрешностей, отражает вероятность всех возможных значений погрешности и по условиям нормирования равна единице. Эту площадь можно разделить вертикальными линиями на части. Абсциссы таких линий называются квантилями.

Так, на рис. Δx₁, есть 25%-ный квантиль (т.к. площадь под кривой f (Δx) слева от нее составляет 25% всей площади).

Абсцисса Δx₂ соответствует 75%-ному квантилю. Между Δx₁, и Δx₂ заключено 50% всех возможных значений погрешности, а остальные лежат вне этого интервала.

Квантильная оценка погрешности представляется интервалом от − Δx(P) до + Δx(P), на котором с заданной вероятностью Ρ встречаются Ρ⋅100% всех возможных значений случайной погрешности. Интервал с границами ± Δx(P) называется доверительным интервалом случайной погрешности, между границами которого с заданной доверительной вероятностью

находится истинное значение оцениваемого параметра (q – уровень значимости; x_Н, x_В – нижняя и верхняя границы интервала).

Принято границы доверительного интервала (доверительные границы) указывать симметричными относительно результата измерения.

В метрологической практике используют главным образом квантильные оценки доверительного интервала. Под Р-процентным квантилем x_P понимают абсциссу такой вертикальной линии, слева от которой площадь под кривой плотности распределения равна Р %. Иначе говоря, квантиль – это значение случайной величины (погрешности) с заданной доверительной вероятностью Р.

Так как квантили, ограничивающие доверительный интервал погрешности могут быть выбраны различными, то при оценивании случайной погрешности доверительными границами необходимо одновременно указывать значение принятой доверительной вероятности (например, ±0,3 В при Ρ = 0,95, что означает – 95% результатов измерений напряжения войдут в диапазон погрешности ±0,3 В).

Доверительные границы случайной погрешности Δx(P), соответствующие доверительной вероятности Р, находят по формуле

где t – коэффициент, зависящий от Ρ и формы закона распределения.

На графике нормального распределения погрешностей по оси абсцисс отложены интервалы с границами ±σ, ±2σ, ±3σ, ±4σ. В табл. Приведены доверительные вероятности для этих интервалов.

t σ	P
±2/3σ	0,5
±σ	0,68
±2σ	0,95
±3σ	0,997
±4σ	0,999

При нормальном распределении погрешностей, принято считать случайную погрешность с границами ±3σ предельной (максимально возможной) погрешностью. Погрешности, выходящие за эти границы, классифицируют как грубые или промахи.

В целях единообразия в оценивании случайных погрешностей интервальными оценками при технических измерениях доверительная вероятность принимается равной 0,95. Лишь для особо точных и ответственных измерений (важных, например, для безопасности и здоровья людей) допускается применять более высокую доверительную вероятность.

Для получения интервальной оценки многократных наблюдений нормально распределенной случайной величины необходимо:

− определить точечные оценки МО и СКО случайной величины;

− выбрать доверительную вероятность Р (0,90; 0,95 или 0,99);

− найти верхнюю x_В и нижнюю x_H границы в соответствии с уравнениями

F(x_H )= q / 2 =(1− P) / 2 и

F(x_В ) =1− q / 2 =(1+ P) / 2.

Значения x_Н и x_В определяются из таблиц значений интегральной функции распределения F(t) или функции Лапласа Ф(t ).

Полученный доверительный интервал удовлетворяет условию

где – аргумент функции Лапласа Ф(t), отвечающей вероятности Р / 2.

В данном случае называется квантильным множителем. Половина длины доверительного интервала называется доверительной границей погрешности результата измерения.

Рассмотренный способ нахождения доверительных интервалов справедлив для достаточно большого числа наблюдений n , когда . Следует помнить, что вычисляемая оценка СКО является лишь некоторым приближением к истинному значению σ. Определение доверительного интервала при заданной вероятности оказывается тем менее надежным, чем меньше число наблюдений.

Распределение Стьюдента

Расчет доверительных интервалов для случая, когда распределение результатов наблюдений нормально, но их дисперсия неизвестна, т.е. при малом числе наблюдений n (<20), можно выполнить с использованием распределения Стьюдента S(t, k). Оно описывает плотность распределения отношения (дроби Стьюдента):

где – истинное значение измеряемой величины. Величины вычисляются на основании опытных данных и представляют собой точечные оценки МО, СКО результатов измерений и СКО среднего арифметического значения.

Закон распределения Стьюдента часто называют «t – распределение». Он описывает плотность распределения вероятности среднего арифметического, вычисленного по выборке из n случайных отчетов нормально распределенной генеральной совокупности. Его вид зависит от числа отчетов n, по которым находится среднее арифметическое значение, поэтому говорят о семействе законов распределения Стьюдента.

В центрированном и нормированном виде они описываются формулой

где – гамма-функция.

k – число степеней свободы (k=n − 1).

Приведенные в математических справочниках таблицы значений гамма-функции обычно охватывают диапазон изменения аргумента n от 1 до 2, и там же дается порядок определения гамма-функции для других значений аргумента.

На рис. приведены графики функции S(t, k) для различных значений n. Кривые симметричны относительно оси ординат и по форме напоминают кривую нормального распределения, к которой они стремятся в пределе при n .

Рис. – Дифференциальная функция S (t, k) для различных значений n:

1 – нормальный закон распределения; 2 – закон распределения Стьюдента; n – число измерений

Площадь между каждой кривой и осью абсцисс при изменении аргумента от - до + равняется 1, т. е. вероятность попадания случайной величины t в бесконечно большой интервал равна единице.

Вероятность того, что дробь Стьюдента в результате выполненных наблюдений примет некоторое значение в интервале [–t_p; + t_p]

Последняя форма записи интеграла с заменой пределов сделана из допущения, что функция S симметрична относительно начала координат. Обычно на практике по заданной доверительной вероятности Р и по заданному числу измерений n находят доверительный интервал ±t.

Численные значения t_р , носящие название коэффициентов Стьюдента, табулированы для конкретных значений Р и n и приводятся в справочниках.

Следовательно, с помощью распределения Стьюдента можно найти вероятность того, что отклонение среднего арифметического от истинного значения измеряемой величины не превышает

,

где – половина длины доверительного интервала (доверительная граница погрешности измерения).

В тех случаях, когда распределение случайных погрешностей не является нормальным, все же часто пользуются распределением Стьюдента с приближением, степень которого остается неизвестной.

Распределение Стьюдента применяют при числе измерений n <30, поскольку уже при n = 20, …, 30 оно переходит в нормальное и вместо уравнения

можно использовать уравнение

Результат измерения записывается в виде:

где P_Д – конкретное значение доверительной вероятности. Множитель t при большом числе измерений n равен квантильному множителю z_р . При малом n он равен коэффициенту Стьюдента.

Полученный результат измерения не является одним конкретным числом, а представляет собой интервал, внутри которого с некоторой вероятностью P_Д находится истинное значение измеряемой величины. Выделение середины интервала вовсе не предполагает, что истинное значение находится ближе к нему, чем к остальным точкам интервала. Оно может находится в любом месте интервала, а с вероятностью 1− P_Д даже вне его.

Как итог, при нормальном распределении случайных погрешностей мы имеем тесную взаимосвязь между желаемым отклонением от истинного значения измеряемой величины, доверительной вероятностью данного отклонения и числом независимых измерений. Соответственно, задача может быть поставлена в нескольких вариантах:

1. Определить доверительный интервал для получения заданной доверительной вероятности.

2. Определить доверительную вероятность попадания среднего арифметического значения в заданный доверительный интервал.

3. Определить необходимое число независимых измерений, если считать известной доверительную вероятность и задаться определенным доверительным интервалом.

Недостатком оценивания случайной погрешности доверительным интервалом при произвольно выбираемых доверительных вероятностях является невозможность суммирования нескольких погрешностей, так как доверительный интервал суммы не равен сумме доверительных интервалов.

Рассмотренные свойства распределений следует понимать как «идеальные», полученные на основе бесконечно большого числа опытов. В реальных условиях результат измерения получают либо путем обработки ограниченной группы наблюдений, либо на основе однократного измерения. Правила обработки данных для получения оценок результата и погрешности статистических измерений определены стандартами Государственной системы обеспечения единства измерений.