4.3. Метод Бокса и Уильсона

Выше было отмечено, что движение по поверхности отклика осуществляется в направлении оценки градиента функции отклика. Рассмотрим нахождение оценки градиента.

Пусть в области определения GR задана функции отклика

=f(x₁,x₂,...,x_k).

Пусть X⁰ (см. рис. 4.1)  произвольно выбранная начальная точка. Используя ее как центр плана, построим ПФЭ или ДФЭ в окрестностях этой точки . Как показано на рис. 4.2, для примера введем кодированные переменные , через которые выразим функцию отклика =f(x₁,x₂,...,x_k).

Рис. 4.2

Как видно из рис. 4.2, переход к кодированным переменным означает перенос начала координат и растяжение (сжатие) по координатным осям функции отклика.

Разложим функцию  в точке в ряд Тейлора:

.

Введем обозначения

; ;

;

После этого функция отклика примет вид

.

Т.к. градиент функции отклика gradf(x⁰)=(₁,₂,...,_k), то оценивание градиента сводится к нахождению МНК-оценок неизвестных параметров ₁,₂,...,_k.

Для простоты предполагают, что функция отклика достаточно точно аппроксимируется гиперплоскостью

.

Тогда при выбранном плане , МНК–оценки определяются

.

Таким образом, найдена оценка градиента функций отклика  в точке :

.

Метод Бокса и Уильсона позволяет отыскивать максимум функции отклика при предположении ее строгой унимодальности в области определения G.

После того, как была выбрана начальная точка, введено кодирование переменных и осуществлена оценка градиента функции  в точке , для поиска максимума делается шаг из точки X⁰ в направлении

где  параметр шага, ,

Каждая компонента точки X¹ находится из формулы

От кодированных переменных осуществляется переход к натуральным переменным, причем координаты точки определяются

Затем в точке производится ряд измерений функции  и по наблюдениям (измерениям) находится оценка

Если  значения функции отклика в точке X, то делается еще шаг в направлении градиента. Для некоторого l-го шага координаты точки X^l определяются .

Определяется оценка функции отклика в точке

,

где  множество выполненных наблюдений функции отклика в точке X¹.

Если X¹ будет первой точкой, для которой , то считаем, что максимум функции отклика в направлении оценки градиента из точки X⁰ будет в найденной точке . На этом оканчивается первый цикл поиска.

Как показано на рис 4.2, этой точкой будет .

Найденная точка из кодированной пересчитывается в натуральную X¹ с координатами

.

Для точки X¹ повторяем заново рассмотренные выше процедуры оценки градиента gradf(X¹) и поиска максимального значения  в направлении оценки градиента. На каждом цикле поиска вычисляется функция отклика f(X⁰), f(X¹), f(X²) и т. д.

Исходя из выбранной погрешности E, поиск осуществляется до тех пор, пока на некотором f-м цикле не будет выполнено условие

f(X^f)-f(X^f-1)<E.

В этом случае точка X^f=(x^f₁,x^f₂,…,x^f_k) считается точкой, в которой функция отклика достигает максимума.

Пример. Пусть функция отклика имеет вид =f(x₁,x₂) и является функцией кодированных переменных.

Матрица плана и результаты наблюдений представлены в виде следующих данных:

Используя результаты наблюдений и аппроксимацию функции  в области T={(x₁,x₂)^T; -1x_i1}, заданную в виде

₀+₁x₁+₂x₂+₁₂x₁x₂,

необходимо найти оценку градиента в центре плана, т.е. в точке , где .

Очевидно, что

.

Так как матрица независимых переменных имеет вид

,

и является матрицей ортогонального планирования, то в результате вычислений получим

=(-y₁+y₂-y₃+y₄)/4=-3; =(-y₁-y₂+y₃+y₄)/4=-10.

Отсюда МНК-оценки градиента в точке имеют вид