3.2 Обработка результатов косвенных измерений

Пусть при косвенных измерениях величина Z рассчитывается по экспериментальным данным, полученным по m измерениям величин a_j :

. (3.2.1)

Запишем полный дифференциал функции:

. (3.2.2)

В случае слабой зависимости функции от аргументов её приращение может быть выражено в виде линейной комбинации . Согласно (3.2.2) получим:

. (3.2.3)

Каждое слагаемое в (3.2.3) представляет собой частную погрешность результата косвенных измерений.

Производные называется коэффициентами влияния соответствующих погрешностей.

Формула (3.2.3) является приближённой, т.к. учитывает только линейную часть приращений функции. В большинстве практических случаев такое приближение оправдано.

Если известны систематические погрешности прямых измерений a_j , то

формула (3.2.3) позволяет рассчитать систематическую погрешность косвенных измерений.

Если частные производные в (3.2.3) имеют разные знаки, то происходит частичная компенсация систематических погрешностей.

Если формула (3.2.3) используется для вычисления предельной погрешности, то она принимает вид:

. (3.2.4)

Рассмотрим, как, используя формулу (3.2.3), можно оценить случайную погрешность косвенных измерений.

Пусть погрешность прямых измерений имеет нулевое математическое ожидание и дисперсию .

Используя (3.2.3) запишем выражения для математического ожидания и дисперсии погрешности косвенных измерений . Математические ожидания отдельных измерений складываются с учетом вклада каждого из них:

(3.2.5)

Для вычисления дисперсии воспользуемся правилом сложения погрешностей:

, (3.2.6)

где R_ki-коэффициент корреляции погрешностей . Если погрешности не коррелированны, то

(3.2.7)

3.3 Обработка результатов совместных измерений

При совместных измерениях полученные значения используются для построения зависимостей между измеряемыми величинами. Рассмотрим многофакторный эксперимент, по результатом которого должна быть построена зависимость . Предположим далее, что зависимость , то есть параметр состояния есть линейная комбинация из входных факторов. В процессе эксперимента проводится n совместных измерений для нахождения коэффициентов a_j .

В этом случае искомые величины определяются в результате решения системы линейных уравнений:

(3.3.1)

где a_j - искомые коэффициенты зависимости, которую необходимо определить, - измеряемые значения величин.

В предположении, что система уравнений (3.3.1) является точной, но значения y_j получены с погрешностями, запишем:

(3.3.2)

где - погрешность измерения y_j , тогда

. (3.3.3)

Для решения задачи мы вынуждены использовать значения . При этом, если число измерений больше числа неизвестных в уравнении (3.3.1) , то система (3.3.1) не имеет однозначных решений. Поэтому уравнения системы (3.3.1) иногда называют условными.

Оценим случайную погрешность совместных измерений. Пусть погрешность имеет нормальный закон распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией. Измерения независимы. В этом случае по аналогии с обработкой прямых измерений может быть построена

функция максимального правдоподобия:

. (3.3.4)

Для нахождения экстремума функции правдоподобия (3.3.4) воспользуемся уже известной процедурой. Прологарифмируем (3.3.4) и найдём значения, при которых функция достигает экстремума. Условие максимума функции (3.3.4) является:

. (3.3.5)

Таким образом (3.3.5) отвечает требованиям метода наименьших квадратов. Следовательно, при нормальном распределении случайной погрешности оценки по методу максимального правдоподобия и по методу наименьших квадратов совпадает.

Для нахождения оценки a_j=a_0j удовлетворяющей (3.3.5) необходимо добиться равенства нулю всех частных производных этой функции по a_j . Для каждого значения j эта оценка будет находиться из следующего уравнения:

. (3.3.6)

Система уравнений (4.3.6) является линейной относительно a_j и называется системой нормальных уравнений. Число уравнений в системе всегда совпадает с числом a_j.

Система (3.3.) решается методом определителей

,

Где D - определитель матрицы , а определитель D_j получается из определителя D заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Для нахождения оценки дисперсии результатов найдем условие максимума после логарифмирования и подставим (см. (3.1.8-3.1.10)), получим

.