1.2 Характер случайной ошибки

Допустим, группа студентов произвела замеры толщины пластинки X. После фиксации всех замеров имеем некоторую выборку из так назы­ваемой генеральной совокупности. Если разбить весь интервал измере­ний на небольшие интервалы длиной x и подсчитать число измерений, попадающих в каждый интервал, то получим ступенчатую кривую, или гистограмму:

Р ис. 3 Гистограмма, полученная при измерении толщины пластинки.

В пределе, увеличивая число измерений и уменьшая интервал X, получим плавную кривую распределения. Чаще всего это кривая нормального распределения:

где у - частота появления отклонения x относительно точного значения измеряемой величины X; - частота появления точного значения X; k - модуль точности измерительной системы.

Рис. 4 Кривая плотности нормального распределения показаний измерительного прибора.

Кривая Рис.4 представляет всю генеральную совокупность значе­ний X, из которой можно произвести выборку, приведённую на Рис.З. Проинтегрировав полностью от до + кривую нормального распре­деления и приравняв площадь под ней 1, получим значение и формулу для нормирования кривой:

Вероятность p появления отклонения от среднего значения X в интервале [-x,+x] определяется интегралом:

или

и представляется графически площадью, заштрихованной на Рис.4. Зна­чения интеграла P протабулированы:

Kx	0.0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.477	0.6	0.707	0.8
	0.000	0.113	0.223	0.329	0.428	0.500	0.604	0.682	0.742

Рассмотрим пример, представленный на Рис.1а. Пусть известно, что случайная ошибка распределена по нормальному закону и значение k = 0,04 мин/об. Требуется определить, какое число отсчётов скоро­сти вращения попадёт в интервал от 980 до 1020 об/мин, если расс­матривается выборка из 10 отсчётов.

Из таблицы 1.1 для X= 20 об/мин следует, что = = 0,742. Значит, из 10 отсчётов 7-8 отсчётов попадают в интервал 980,1020 об/мин. Конечно, существует определённая вероятность, что на практике в заданном интервале может оказаться и 3, и 5, и 12, и т.д. отчётов, но наиболее вероятное число 7-8.

Кроме модуля точности k в теории более известны другие пара­метры, характеризующие случайную ошибку, а именно, среднеквадратическое отклонение и дисперсия :

при

Более точная связь между k и находится интегрированием и имеет такой вид:

Формула для кривой нормального распределения приобретает более зна­комый вид:

Более удобным для инженерного восприятия оказывается другой по­казатель точности измерений, а именно, вероятная ошибка Ф. Величи­на Ф. определяется как такое отклонение от среднего, при котором в интервале Ф. находится половина всей совокупности измерений. Для нормального распределения:

Таким образом, вероятности попадания и непопадания любого измерения в интервал

Ф оказываются равными.

Если вновь обратиться, к примеру, на Рис.1а, то в данном случае показатели точности измерений оказываются равными:

об/мин; об/мин

Значит, примерно половина отсчётов заключена в интервале между 994 и 1006 об/мин.