Тема 2: «Дисперсионный анализ. Однофакторный анализ»

Дисперсионный анализ даёт общую схему проверки статистических гипотез, основанную на тщательном изучении различных источников вариации (изменчивости, неоднородности) в сложной ситуации. Он позволяет оценить влияние одного или нескольких факторов на результирующий признак.

На практике часто встречается ситуация, когда можно указать один фактор, влияющий на конечный результат, и этот фактор понимает конечное число значений. Такая ситуация может быть проанализирована при помощи однофакторного дисперсионного анализа.

Данные для однофакторного дисперсионного анализа – это k генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ сравнивает два источника вариации: между выборками (межгрупповая вариация) и внутри каждой выборки (внутригрупповая вариация). Каждая генеральная совокупность подчиняется нормальному распределению, причем все стандартные отклонения одинаковы.

Гипотеза H₀ утверждает, что все средние равны между собой. Альтернативная гипотеза Н₁ говорит о том, что не все средние равны между собой, (есть хотя бы две неравные средние).

Фактор А имеет k уровней. На каждом уровне проводится выборка объёмом n 2,…, k). Тогда общее число наблюдений равно n = n .

Пусть x - результаты j-й выборки. Отсюда S =

S S

Статистика F= . Доверительная вероятность ,

По таблице F- распределения находим граничную точку F Если F > F то мы отклоняем гипотезу H на уровне значимости

Пример

Предприятие решает вопрос о том, какую из трёх систем контроля качества выбрать. Все три системы были тестированы. Результаты тестов были отражены в таблице.

Номер системы	Число выявленных бракованных изделий в партии продукции
1	1, 2, 3, 0, 2, 1
2	2, 3, 1, 0, 1
3	2, 2, 3, 2

Проверим гипотезу об отсутствии влияния различий между системами на результаты тестирования систем. Доверительная вероятность равна 95%. Предполагается, что выбор- Ки получены из независимых нормальных генеральных совокупностей с одной и той же генеральной дисперсией.

H различия между системами не влияют на результаты тестирования систем.

H различия между системами влияют на результаты тестирования систем.

З аполним таблицу

Номер системы	Число изделий x	Сумма	n
1	1, 2, 3, 0, 2, 1	9	6
2	2, 3, 1, 0, 1	7	5
3	2, 2, 3, 2	9	4
Сумма	-	25	15

Проверим, как заполняется таблица. Сумму элементов в каждой строке 2-го столбца пишем в соответствующей строке 3-го столбца, а число элементов в каждой строке 2-го столбца – в соответствующей строке 4-го столбца. В последней строке указана сумма чисел соответствующего столбца.

Тогда S =

S

S

Статистика F =

По таблице F-распределения находим горячую точку F

Мы принимаем гипотезу на уровне значимости 5%. Различия между системами контроля не влияют на результаты тестирования систем.

Задача

Предприятие решает вопрос о том, какую из трёх систем контроля качества выбирать. Все три системы были тестированы. Результаты тестов отражены в таблице.

Номер системы	Число выявленных бракованных изделий в партии продукции
1	2, 1, 0, 3, 3, 1
2	3, 3, 2, 2, 1
3	2, 2, 2, 3

Проверить гипотезу об отсутствии влияния различий между системами на результаты тестирования систем. Доверительная вероятность равна 99%. Предполагается, что выборки получены из независимых нормальных генеральных совокупностей с одной стороны и той же генеральной дисперсией.

Замечание. Excel позволяет провести однофакторный дисперсионный анализ. Воспользуемся надстройкой Пакет анализа.

Сервис Анализ данных Однофакторный дисперсионный анализ ОК. Откроется диалоговое окно, которое нужно заполнить. В графе Входной интервал указывается ссылка на ячейки, содержащие исходные данные. В графе Группирование нужно указать, как сгруппированы данные (по строкам, по столбцам). Если первые из ячеек содержат пояснительный текст, то рядом со словами Метки нужно поставить «галочку». Альфа (уровень значимости) по умолчанию предполагается равным 0,05. Если исследователя это не устраивает, то рядом со словами Альфа нужно указать требуемое значение. Также указываются параметры вывода (Входной интервал, Новый рабочий лист, Новая рабочая книга). ОК. Откроется итоговое окно.

В первой таблице для каждой выборки будут указаны её объём (Счёт), сумма элементов (Сумма), выборочное среднее (Среднее) и выборочная дисперсия (Дисперсия). Вторая таблица имеет следующий вид.

Источник вариации	SS	d f	MS	F	p-значение	F крити -ческое
Между группами	S	k-1				F
Внутри групп	S	n-k
Итого	S	n-1

Если P-значение меньше Альфа (то есть F > F критическое), то гипотеза H отвергается.