1 Цель и содержание

Цель работы – научиться рассчитывать значения коэффициента (индекса) корреляции и оценивать его статистическую значимость. Получить навыки построения доверительного интервала значений показателя.

В результате работы студенты должны:

1. Вычислить значение коэффициента или индекса корреляции для парных зависимостей.

2. Охарактеризовать тесноту связи между переменными.

3. Оценить значимость коэффициента или индекса корреляции по критериям Стьюдента и Фишера.

2 Теоретическое обоснование

Корреляционный анализ позволяет определить наличие и тесноту зависимости между переменными без разделения переменных на зависимые и независимые (объясняющие). Для этого вычисляются показатели или коэффициенты корреляции.

По аналитическому выражению зависимости подразделяются на линейные и нелинейные. Линейные зависимости соответствуют функции прямой:

, (1)

где и – параметры уравнения;

– независимая переменная.

Линейные зависимости могут иметь вид степенной функции, экспоненциальной, показательной, полиномиальной и др., например:

1) полиномы разных степеней: у = а + b₁ x + b₂ x² + b₃ x³ + … + b_n xⁿ + ;

2) равносторонняя гипербола: ;

3) степенная: ;

4) экспоненциальная: ;

5) показательная: .

Расчет коэффициентов корреляции основывается на использовании данных наблюдений за совместным изменением величин и , которые для удобства представляют в таблице 1.

Таблица 1 – Данные наблюдения

№ наблюдения
1
2
…	…	…
n

Каждая строка таблицы представляет собой результат одного наблюдения ( ) за переменными и . Это могут быть значения двух показателей, характеризующих уровни одного и того же объекта в разные периоды времени либо значения двух показателей, характеризующих различные однородные объекты в один и тот же период времени.

Тесноту связи в случае линейной зависимости характеризует коэффициент корреляции ( ):

, (2)

где n – количество наблюдений;

– данные наблюдений;

– средние значения переменных и ;

– средние квадратические отклонения переменных и , которые вычисляются по формулам:

. (3)

Линейный коэффициент корреляции принимает значения в пределах . При > 0 связь является прямой, при < 0 связь является обратной.

Количественные критерии оценки тесноты связи представлены в таблице 2.

Таблица 2 – Критерии оценки тесноты связи между переменными

Показания тесноты связи– коэффициент корреляции (по модулю)	Характеристика силы связи
0,1 – 0,3	слабая
0,3 – 0,5	умеренная
0,5 – 0,7	заметная
0,7 – 0,9	высокая
0,9 – 0,99	весьма высокая

Теснота нелинейной связи определяется с помощью индекса корреляции:

, (4)

где – расчетные (теоретические) значения переменной , вычисленные по уравнению.

Для оценки значимости коэффициента корреляции используется t-критерий Стьюдента, согласно которому значение считается статистически значимым, если выполняется условие:

, (5)

где – табличное значение t-критерия Стьюдента при уровне значимости α и числе степеней свободы (Приложение 1).

Для оценки статистической значимости полученного значения индекса корреляции R используется F-критерий Фишера, согласно которому значение R считается статистически значимым, если выполняется условие:

, (6)

где – табличное значение F-критерия Фишера при уровне значимости α и числе степеней свободы , (Приложение 2).

Доверительные интервал – это пределы, в которых лежит точное значение определяемого показателя с заданной вероятностью ( ).

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т. е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то значение принимается равным нулю, так как не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.

Для статистически значимого доверительный интервал получают с использованием Z-преобразования Фишера:

. (7)

Первоначально определяется интервальная оценка для z:

, (8)

где – квартиль стандартного нормального распределения порядка ;

– значение Z-преобразования Фишера, соответствующее полученному значению коэффициента корреляции .

Граничные значения доверительного интервала ( ) для получаются из граничных значений доверительного интервала ( ) для z с помощью обратного Z-преобразования Фишера :

. (9)