5.8 Структурні середні, їх суть та особливості обчислення

Разом з розглянутими вище різновидами середніх величин як додаткові характеристики варіаційних рядів розраховуються так звані структурні (порядкові) середні: медіана і мода.

Назва медіани взята з геометрії, де медіаною називається відрізок, що сполучає одну з вершин трикутника з серединою протилежної сторони і що розділяє сторону на дві рівні частини.

У статистиці Ме також ділить на дві рівні частини площу гістограми розподілу. Вона є значенням центрального елемента ранжируваного ряду.

Тобто, Ме – значення варіюючої ознаки, розміщеної в середині ранжируваної сукупності і розділяє сукупність на дві рівні частини – із значеннями ознаки менше і більше медіани.

Поняття Ме легко з'ясувати на такому простому прикладі: нехай є група студентів з семи чоловік.

Необхідно охарактеризувати структуру даної сукупності за ознакою віку, якщо він варіює таким чином:

18 19 17 20 18 24 21.

Це можна зробити таким чином: визначити середній вік студента як середню арифметичну і подивитися структуру сукупності відносно середньої.

Тобто, подивитися скільки чоловік мають вік менше середньої по групі і скільки більше:

роки.

Але можна зробити це і за допомогою медіани, визначивши її значення.

Щоб визначити медіану необхідно:

1. на основі даної сукупності побудувати ранжируваний ряд і пронумерувати його члени;

2. якщо число членів ряду непарне – додати до цього числа одиницю і розділити на 2, тобто .

В результаті одержимо порядковий номер члена ряду із значенням ознаки, що дорівнює медіані.

3. якщо ж число членів ряду парне, то медіану визначають як середню арифметичну з 2 центральних елементів ряду.

В нашому ПРИКЛАДІ:

Ме

Вік	17	18	18	1 19 9	20	21	24
Порядковий № за віком	1	2	3	4	5	6	7

№ Ме . Цьому порядковому номеру відповідає значення ознаки, що дорівнює 19.

Отже, значення Ме для даної сукупності дорівнюють 19 років.

Дійсно, це центральний елемент ранжируваного ряду, оскільки він ділить сукупність на дві рівні частини: зліва від нього три студенти молодше 19 років, а справа три студенти старше 19 років.

Наведений приклад визначення Ме належить до незгрупованих даних.

Практично ж Ме визначають, як правило, для сукупностей, поданих у вигляді дискретного або інтервального ряду.

В цих випадках використовують накопичені частоти.

Під накопиченими частотами розуміють наростаючий підсумок послідовного підсумовування частот, починаючи з першого варіанта або першого інтервалу.

Для дискретних рядів Ме визначається без особливих розрахунків в наступній послідовності:

1) знаходять порядковий номер медіани у сукупності, як напівсуму частот;

2) будується стовпчик кумулятивних частот;

3) перша із кумулятивних частот, яка перевищує номер медіани або дорівнює йому, укаже на значення медіани у стовпчику варіантів.

ПРИКЛАД, Нехай є розподіл міст за кількістю заводів в них. Визначимо Ме.

Число заводів (х)	Число міст (f)	Накопичені частоти (S)
1	2	2
2 3	3	5 (2+3)
Ме	4	9 (5+4)
4	2	11
5	1	12
Разом:	12

1) Знайдемо номер Ме = 12: 2 = 6.

2) За накопиченими частотами бачимо, що накопиченим частотам, починаючи зі значення 6 (після 5) і по 9 включно, відповідає значення варіанта, що дорівнює 3. Отже, Ме = 3.

Висновок: значення медіани показує, що у половині міст більше, ніж 3 заводи, а у половині – менше, ніж 3 заводи.

Для інтервальних рядів порядок знаходження Ме наступний:

1) Знаходять номер Ме, як півсуму частот.

2) За кумулятивними частотами визначається медіанний інтервал, тобто інтервал, в якому знаходиться Ме .

3) За формулою визначається медіана

,

де – нижня межа медіанного інтервалу;

– величина медіанного інтервалу;

– порядковий номер Ме ;

– накопичена частота домедіанного інтервалу;

– частота медіанного інтервалу.

Для ясності розглянемо такий ПРИКЛАД: Нехай є дані про розподіл сільських населених пунктів сіл Сумського району за кількістю мешканців у них. Величина середньої арифметичної буде в цьому випадку менш точним показником, ніж Ме .

Населення, чол. (х)	Кількість сіл (f)	Накопичені частоти (S)
до 100	6	6
100 – 200	18	24
200 – 300 200 – 300 Ме	30	54
300 – 400 Мо	34	88
400 – 500	10	98
понад 500	2	100
Разом:	100

чол

1) Визначаємо порядковий номер № Ме = 100 : 2 = 50.

2) За накопиченими частотами бачимо, що 50 номер елемента ряду знаходиться в інтервалі 200 – 300.

3) За формулою:

(чол.).

Отже, можна зробити висновок:

• у половині сіл району проживають менше 287 чоловік, а в половині - більше 287 чоловік.

Ме, як видно із способів її підрахунку, не залежить від двох крайніх значень ряду.

Якщо крайні значення ряду надмірно великі або малі, тобто нетипові, або ряд містить відкриті інтервали, то Ме може дати більш точне уявлення про середню, ніж середня арифметична, оскільки на неї не вплинуть ці нетипові значення ознаки.

Крім того, медіана на відміну від середньої не є абстрактною величиною. Вона знаходиться точно в середині ранжируваного ряду і є реальним значенням ознаки, особливо в разі непарного числа одиниць сукупності.

Як самостійна величина Ме використовується звичайно при розв’язанні деяких задач, пов'язаних з визначенням оптимального варіанту.

НАПРИКЛАД: оптимальне розташування водопровідної колонки на вулиці, щоб загальна відстань для жителів була мінімальною. Або школу будують так, щоб учням було зручно добиратися. Цукровий завод розміщують для оптимальної поставки буряку.

Разом з тим, не поменшуючи значення Ме в аналізі слід зазначити, що вона є все-таки не основною, а додатковою характеристикою сукупності.

Основною характеристикою сукупності є середня величина, що узагальнює всі значення ознаки і є центром розподілу відхилень значень ознаки від рівнодіючої.

Величина Ме, як правило, відрізняється від середньої величини і може збігатися з нею тільки в разі симетрії варіаційного ряду.

Мода

Поняття «Мода» в статистику ввів К. Пірсон.

Мода (Мо) – значення варіюючої ознаки, яке найчастіше зустрічається серед одиниць даної сукупності.

Тобто, мода – це найтиповіше, характерне для даної сукупності значення ознаки (варіанта). Так, у варіаційному ряді розподілу міст по числу заводів, який ми наводили як приклад вище, мода дорівнює 3. Саме таке число заводів має найбільше розповсюдження серед міст даного ряду. Таких міст найбільше число – 4.

Таким чином, для дискретного ряду, мода – це значення варіанти, якому відповідає найбільша частота. Визначення її проводиться без жодних обчислень, шляхом простого перегляду стовпчика частот. Дивлячись на цей стовпчик, слід лише знайти найбільше число в ньому. Йому і відповідає значення варіанта (ознаки), яке і є модою.

У випадку ж з інтервальним рядом, визначення моди вимагає обчислень і здійснюється у такій послідовності:

1) За найбільшою частотою визначають модальний інтервал, тобто частота якого найбільша. При цьому у рядах з неоднаковими інтервалами модальний інтервал визначається за найбільшою щільністю розподілу. Тобто, в цьому випадку необхідно розрахувати ще стовпчик щільності розподілу.

Щільність розподілу, як нам вже відомо, розраховується шляхом ділення частоти на величину відповідного інтервалу, тобто .

2) За формулою визначається мода

,

де – нижня межа модального інтервалу;

– величина модального інтервалу;

– частота передмодального інтервалу;

– частота модального інтервалу;

– частота післямодального інтервалу.

ПРИКЛАД: визначимо моду розглянутого вище інтервального ряду розподілу сіл району за кількістю населення.

1 Проглянувши стовпчик частот бачимо, що Мо знаходиться в інтервалі 300 – 400, йому відповідає найбільша частота.

2 За формулою (чол).

Висновок: У більшості сіл Сумського району проживає близько 314 чол., або найтиповішим селом в районі є село з кількістю жителів 314 чоловік.

Мо як і Ме є описовою характеристикою сукупностей з кількісно варіюючими ознаками і не може замінити середню узагальнюючу величину. Вона, як і середня, теж типова величина, але, на відміну від середньої характеризує величину ознаки, властиву хоча і значній частині сукупності, але не всій сукупності в цілому.

Мо, перш за все, відповідає на питання про те, яке значення ознаки, що вивчається, найбільш вірогідне.

Якщо в якомусь розподілі 2 варіанти виділяються відносно великими (однаковими) частотами, то такий розподіл має дві моди і називається двомодальним.

При розв’язанні практичних задач Мо використовується, наприклад, при плануванні обсягу виробництва того або іншого товару (облік попиту).

19