Упражнения

Выполнить следующие упражнения методом замещения.

1. Показать, что системы векторов линейно независимы:

   1. ₁=(1,5), ₂=(7,4);

   2. ₁=(4,1), ₂=(2,-1);

   3. ₁=(2,1,3), ₂=(3,1,4), ₃=(1,2,1);

   4. ₁=(2,2,1), ₂=(1,0,2), ₃=(0,3,4);

   5. ₁=(1,1,-2,-2), ₂=(2,1,7,11), ₃=(2,0,3,-11), ₄=(1,1,4,4);

   6. ₁=(2,0,0,0), ₂=(0,2,0,1), ₃=(0,0,1,1), ₄=(1,0,0,2).

2. Показать, что системы векторов линейно зависимы; найти ранги системы векторов.

   1. ₁=(1,1,4), ₂=(1/2,1,2), ₃=(3,6,12);

   2. ₁=(1,2,4), ₂=(3,7,5), ₃=(-2,4,3), ₄=(-5,6,7);

   3. ₁=(5,2,1), ₂=(-1,3,3), ₃=(9,7,5) , ₄=(3,8,9);

   4. ₁=(-1,2,4), ₂=(1,2,4), ₃=(1,-2,-4);

   5. ₁=(4,3,0,5), ₂=(3,2,1,4), ₃=(2,1,2,3), ₄=(2,1,2,3) , ₅=(-2,-3,6,-1);

   6. ₁=(1,-2,-3,2), ₂=(1,-4,-13,14), ₃=(-3,5,4,0).

Контрольные задания

Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой; определить ранг системы векторов.

1. ₁=(2,3,1), ₂=(3,4,1), ₃=(4,5,1);

2. ₁=(7,6,5), ₂=(1,2,3), ₃=(3,2,1);

3. ₁=(1,-2,2), ₂=(1,3,1), ₃=(2,1,3);

4. ₁=(3,3,1), ₂=(1,0,1), ₃=(4,3,2);

5. ₁=(2,2,3), ₂=(3,4,5), ₃=(1,2,2);

6. ₁=(3,1,-4), ₂=(1,2,5), ₃=(4,3,1);

7. ₁=(4,2,3), ₂=(5,4,7), ₃=(1,2,4);

8. ₁=(3,3,3), ₂=(4,6,8), ₃=(1,3,5);

9. ₁=(9,5,7), ₂=(4,4,5), ₃=(5,1,2);

10. ₁=(4,6,8), ₂=(1,5,3), ₃=(3,1,5);

11. ₁=(2,3,1), ₂=(3,4,1), ₃=(8,11,3);

12. ₁=(4,4,4), ₂=(1,2,3), ₃=(3,2,1);

13. ₁=(3,-1,5), ₂=(1,3,1), ₃=(2,1,3);

14. ₁=(-3,-3,-1), ₂=(1,0,1), ₃=(4,3,2);

15. ₁=(-2,-2,-3), ₂=(3,4,5), ₃=(1,2,2);

16. ₁=(7,4,-3), ₂=(1,2,5), ₃=(4,3,1);

17. ₁=(-4,-2,-3), ₂=(5,4,7), ₃=(1,2,4);

18. ₁=(7,9,11), ₂=(4,6,8), ₃=(1,3,5);

19. ₁=(-1,3,3), ₂=(4,4,5), ₃=(5,1,2);

20. ₁=(-2,4,-2), ₂=(1,5,3), ₃=(3,1,5);

21. ₁=(2,3,1), ₂=(3,4,1), ₃=(-4,-5,-1);

22. ₁=(5,2,-1), ₂=(1,2,3), ₃=(3,2,1);

23. ₁=(5,0,8), ₂=(1,3,1), ₃=(2,1,3);

24. ₁=(7,6,3), ₂=(1,0,1), ₃=(4,3,2);

25. ₁=(5,6,8), ₂=(3,4,5), ₃=(1,2,2);

26. ₁=(-3,-1,4), ₂=(1,2,5), ₃=(4,3,1);

27. ₁=(9,6,10), ₂=(5,4,7), ₃=(1,2,4);

28. ₁=(5,9,13), ₂=(4,6,8), ₃=(1,3,5);

29. ₁=(1,-3,-3), ₂=(4,4,5), ₃=(5,1,2);

30. ₁=(-1,9,1), ₂=(1,5,3), ₃=(3,1,5).

Типовой расчет

Показать, что система векторов ₁=(2k, 3), ₂=(N, 4), ₃=(5, k+N), (где k – номер группы студента, N= ) линейно зависима. Найти ранг.

1.3 Разложение вектора по базису

Теорема. Система из n линейно независимых векторов , ,…, тогда и только тогда будет базисом n-мерного пространства, когда любой вектор пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов этой системы.

Пример 1. Дана система векторов ₁=(1;0), ₂=(0;2), ₃=(2;4), ₄=(2;4). Требуется найти все базисы этой системы и разложения векторов по этим базисам.

Воспользуемся методом замещения. Составляем таблицу 10.

Таблица 10.

номер шага	В Б	1	2	3
I	1	1	0	2
	2	0	2	4
II	1	1	0	2
	2	0	2	4	:(2)
III	1	1	0	2	( -1), :(2)
	2	0	1	2
IV	3	1/2	0	1
	2	-1	1	0	:(-1) (-1/2)
V	3	0	1/2	1
	1	1	-1	0

Шаг I. Очевидно, что вектор ₁= ₁, следовательно, вектор ₁ просто заменяем вектором ₁.

Шаг II. Заменим вектор ₂ вектором ₂. Для этого разделим направляющую строку на 2.

Шаг III. Из таблицы видно, что векторы единичного базиса ₁, ₂ заменены векторами ₁, ₂, которые образуют новый базис, а разложение вектора ₃ по базису ₁, ₂ имеет вид: ₃ =2 ₁ + 2 ₂.

Перейдем к новому базису. Введем в базис вектор ₃ вместо вектора ₁. Для этого первую строку вычтем из второй строки, а направляющую строку поделим на 2.

Шаг IV. Получили новый базис ₂, ₃ , разложение вектора ₁ по базису ₁, ₂: ₃ =2 ₁+ 2 ₂. Перейдем к новому базису. Введем в базис вектор ₁ вместо вектора ₂. Для этого направляющую строку умножим на (-1), затем преобразованную направляющую строку умножаем на (-1/2) и прибавляем к первой.

Шаг V. Получили новый базис ₁, ₃, разложение вектора ₂ по базису ₁, ₃: ₂ = - ₁ + 1/2 ₃. Далее продолжать метод замещения нельзя, так как будем получать ранее найденные базисы.

Таким образом, ранг системы равен двум, а за базис можно принять одну из пар векторов: ₁, ₂; ₂, ₃; ₁, ₃.

Как видно, всего базисов данной системы будет меньше или равно С₃² =3 – числа сочетаний из трех по два. В общем случае, если система состоит из m векторов и имеет ранг r, то всего базисов будет ≤ С_m^r.

Пример 2. Определить ранг системы векторов

₁=(1,2,1), ₂=(2,1,3), ₃=(1,5,0), ₄=(2,-2,4). Найти базис системы векторов, содержащий векторы ₁, ₃, и векторы, не входящие в этот базис, разложить по базису. Сделать проверку.

Воспользуемся методом замещения. Составим таблицу 11. Найдем базис системы векторов, последовательно заменяя вектора единичного базиса векторами ₁, ₃.

Таблица 11

номер шага	В Б	1	2	3	4
I	1	1	2	1	2	( -2)(-1)
	2	2	1	5	- 2
	3	1	3	0	4
II	1	1	2	1	2
	2	0	-3	3	-6	: (3)(-1)(1)
	3	0	1	-1	2
III	1	1	3	0	4
	2	0	-1	1	-2
	3	0	0	0	0

Как видно, на шаге III осталось заменить вектор ₃. Однако процесс замещения на этом прекращается, так как среди элементов таблицы, не принадлежащих ранее направляющим строкам, нет элемента, отличного от нуля, который можно было принять за направляющий элемент. Таким образом, вектора ₁, ₃ образуют базис; ранг равен двум, а разложение векторов ₂, ₄, не вошедших в базис, по базису имеет вид:

₂ = 3 ₁ - ₃, ₄ = 4 ₁ - 2 ₃.

Проверка: ₂ = 3(1,2,1) – (1,5,0) =(2,1,3) – верно;

₄ = 4(1,2,1) – 2(1,5,0) = (2,-2,4) – верно.