Основы теории погрешностей Абсолютная, относительная погрешность и точность измерения

Важнейшей характеристикой любого измерительного преобразователя является функция преобразования (см. (6) лекции 2).

Так как значения наносятся на шкалу прибора, то функцию преобразования еще называют градуировочной характеристикой. Для получения на выходе измерительного прибора значения измеряемой величины, нужно провести обратное преобразование:

(11)

За счет помех и нестабильности на практике функция преобразования немного отличается от теоретической функции преобразования (6) в лекции 2 . Отсюда следует, что измеренная величина , полученная при обратном преобразовании будет отличаться от истинного значения измеряемой величины . Разность результата измерения и истинного значения измеряемой величины, называется абсолютной погрешностью:

(12)

Условием достоверности проведенного измерения является неравенство . Однако в связи с тем, что истинное значение измеряемой величины измерить невозможно, на практике абсолютную погрешность определяют как:

, (13)

где — это действительное значение величины, которое несколько отличается от истинного значения ( ), но его погрешность намного меньше, чем погрешность измеренного значения .

Абсолютная погрешность не может характеризовать точность выполняемых измерений. Числовой характеристикой точности измерения является относительная погрешность :

, (14)

т. е. отношение абсолютной погрешности к значению измеряемой величины. Относительная погрешность может записываться в виде безразмерной десятичной дроби, либо выражаться в процентах.

Из (13) и (14) следует, что величина погрешности определяется приближенно. При этом точность нахождения погрешности обычно существенно меньше точности измеряемой величины, поскольку отношение обычно больше .

Зависимость погрешностей от значения измеряемой величины.

В зависимости от вида функции преобразования прибора (преобразователя) его общая погрешность и ее составляющие различным образом зависят от значения измеряемой величины. Рассмотрим эти зависимости при разных функциях преобразования .

I. Зависимость Δ(X) и σ(X) при линейной функции Y = SX (Аддитивная и мультипликативная погрешности. Порог чувствительности)

Как уже отмечалось, функция преобразования вида присуща большинству измерительных приборов. При этом результирующая погрешность на выходе прибора (в единицах выходной величины ) может возникать:

• во-первых, за счет аддитивного наложения на входную измеряемую величину некоторой малой неконтролируемой величины (например, шумы или наводки);

• во-вторых, из-за наличия аналогичной величины на выходе прибора — например, в случае дискретного характера (квантования) выходного сигнала (входной сигнал обычно имеет неправильный (аналоговый) характер);

• в третьих, за счет малых неконтролируемых изменений (нестабильности) чувствительности

Причем , , . С учетом этих факторов значение на выходе, очевидно, будет отличаться от теоретического значения на величину :

(1)

(В (1) слагаемым , имеющим более высокий порядок малости, пренебрегли). Из (1) следует, что результат измерения величины может быть представлен в виде

(2)

Здесь — абсолютная погрешность измерения, выраженная, как и полагается, в единицах , и состоящая из двух слагаемых: первое из них называется аддитивной погрешностью (от add – прибавлять) поскольку она, как видим, суммируется с и не зависит от него. Второе слагаемое называется мультипликативной погрешностью (от multiply – умножать), так как оно определяется умножением измеряемого значения на относительную погрешность чувствительности

(3)

Таким образом, в случае линейной функции преобразования абсолютная погрешность измерения

(4)

в

Рис. 1

общем случае состоит из суммы аддитивной и мультипликативной погрешностей. Первая из них не зависит от измеряемой величины, а вторая — пропорциональна ей (рис 1а). При этом важно отметить, что так ведут себя в зависимости от абсолютные (размерные) значения этих погрешностей.

Поскольку с увеличением возрастает общая погрешность , может показаться, что с ростом измеряемой величины точность измерения будет уменьшаться. Однако, согласно (4) относительная погрешность , характеризующая, как известно, точность измерения, равна

, (5)

Из (5) следует два важных вывода. Во-первых, при представлении погрешности в относительном (безразмерном) виде , ее мультипликативная составляющая становится равной погрешности чувствительности , которая не зависит от значения измеряемой величины , а аддитивная составляющая оказывается обратно пропорциональной (рис. 1б).

Во-вторых, при линейной функции преобразования точность измерения повышается с увеличением измеряемой величины. Отсюда практическая рекомендация: при линейной функции преобразования в целях повышения точности измерения следует выбирать диапазон измерений так, чтобы предполагаемое значение измеряемой величины находилось как можно ближе к верхнему приделу шкалы прибора. Из (4), (5) и рис. 1 видно, что при больших значениях измеряемой возрастает вклад мультипликативной составляющей в общую погрешность, и, наоборот, при малых основную часть погрешности составляет аддитивная погрешность.

На практике погрешности измерения конкретным прибором обычно бывают заданы лишь в виде некоторых допустимых (предельных) значений или со знаком .

Например, в техническом описании серийно выпускаемого цифрового частотомера (с линейной функцией преобразования) может быть указано, что основная погрешность измерения частоты не превышает значения, которое может быть задано либо в абсолютных значениях:

, (6)

где первое слагаемое — аддитивная, а вторая — мультипликативная погрешность, либо в относительных значениях:

, (7)

где вначале указана погрешность чувствительности (мультипликативная), а за ней относительная аддитивная составляющая. Разумеется, в конечном экземпляре такого частотомера или при конкретном измерении погрешность может быть меньше указанного предела.

С

Рис. 2

учетом такой неопределенности задания погрешности выходную величину следует считать связанной с входной величиной соотношением , где увеличивается с ростом из-за мультипликативной составляющей. При этом вместо номинальной зависимости в виде прямой линии получается расширяющаяся полоса шириной (рис. 2), характеризующая зону неопределенности измерений, т. е. неопределенности наших знаний о действительном значении .

Поскольку минимальная ширина этой полосы равна , ясно, что значение измеряемой величины прибор не сможет достоверно отличить от нуля. Таким образом, минимально различимым значением, на которое достоверно реагирует прибор, является . Это значение, определяемое аддитивной погрешностью, называется порог чувствительности данного прибора.