13.Расчёт параметров распределения ресурсов деталей автомобилей.

Расчёт параметров распределения ресурсов детали переднего моста по результатам их наблюдения в эксплуатации.

Параметры распределения ресурсов детали рассчитываются на основе обработки статистической информации об отказах, наблюдаемых в эксплуатации, и используются для разработки стратегии поддержания работоспособности, оценки долговечности и безотказности конструкции и потребности в запасных частях.

Выявим наибольшее lmax и наименьшее lmin значения наработки и определим ширину интервалов группирования по формуле:

∆l=(l_max - l_min ) / 1+ 3,2_*lg N , тыс. км,

где N — общее число наблюдений, N= 7

Значения ресурсов / (расставлены по возрастанию), тыс. км.

14

16

18

22

25

26

30

ᴇ=151

∆l=(30 – 14) / 1 +3,2*lg7 = 4,32≈ 4 тыс.км

Подсчитаем частоты попадания случайной величины ресурса l в интервале группирования. Выберем начальное lн и конечное lк значения величины, которые берутся ближе к целочисленному lmax и lmin .

Lн=7 l1=7+4=11 l2=11+4=15 l3=15+4=19 l4=19+4=23 l5=23+4=27

L6=27+4=31 l7=lk=31+4=35

Чертим прямую и разбиваем на интервалы равные от 7 до 35 тыс. км.

lн l1 l2 l3 l4 l5 l6 lk

7 11 15 19 23 27 31 35

Определим какое количество ресурсов попадает в интервалы и определим середины этих интервалов.

№	Границы интервалов (тыс. км)	Середины интервалов (тыс. км)	Частота попадания в интервал, ni
1	7-11	9	0
2	11-15	13	1
3	15-19	17	2
4	19-23	21	1
5	23-27	25	2
6	27-31	29	1
7	31-35	33	0

0пределение параметров и характеристик нормального закона. Плотность вероятности f(l) нормального закона имеет вид:

f(l) = 1/(σ*V2П ).ехр[-(li -a)² / 2а²], где

a и σ –параметры нормального распределения

а=1/7*(13*1+17*2+21*1+25*2+29*1)=21тыс.км.

exp (z) - форма представления числа е в степени z : exp (z) =

а) вычислим математическое ожидание а по формуле:

a=1 /N * E li*ni ,где

r - количество интервалов;

N - общее число наблюдений;

li - середины интервалов;

ni - частота попадания в интервалы.

б) Рассчитаем среднеквадратичное отклонение о по формуле:

σ= 1 / (N - 1) _* l_i - a)² _* n_i =√0,16*161*7=√243,2=15,6

в) вычислим значения эмпирической плотности распределения вероятностей fэ(li) по интервалам наработки:

fэ(li)=ni/(N*∆l)

fэ(l1)=n1/(7*8)=0 fэ(l2)=0,036 fэ(l3)=0,071 fэ(l4)=0,036 fэ(l5)=0,071 fэ(l6)=0,036 fэ(l7)=0

г) рассчитаем нормированные и центрированные отклонения середины интервалов:

yi = (li – a) /σ

y1 = (l1 – 21)/σ = 11-21/15,6= -0.64

y2 = (l2 – 21)/σ = 15-21/15,6 =-0.38

y3 = (l3 – 21)/σ = 19-21/15,6= -0,13

y4 = (l4 – 21)/σ = 23-21/15,6 = +0,13

y5= (l5 – 21)/σ = 27-21/15,6= +0,38

y6 = (l6 – 21)/σ = 31-21/15,6= +0,64

y7 = (l7 – 21)/σ = 35-21/15,6= +0,9

д) Определим значения теоретической плотности распределения вероятностей fт(li) по формуле:

fт(li) = (1/σ)*f0(yi) ,где

f0(yi) = (1/ *exp(-y /2)

f0(y1)= 0.22

f0(y2)= 0.08

f0(y3)=0,009

f0(y4)=0,009

f0(y5)=0,08

f0(y6)=0,22

f0(y7)=0,44

fт(l1) =1/15,62 *0.22= 0.014

fт(l2) = 1/ 15,6*0.08= 0.005

fт(l3) = 1/ 15,6*0,009= 0,0005

fт(l4) = 1/15,6*0,009= 0,0005

fт(l5) = 1/15,6*0,08= 0,005

fт(l6) = 1/ 15,6*0,22= 0,014

fт(l7) = 1/ 15,6*0,44= 0,028

Таблица вычислений эмпирической и теоретической плотности распределения вероятностей и нормированных и центрированных отклонений середины интервалов

ni\параметры	yi	fэ(li	f0(li)	fт(li)
n1	-0,64	0	0,22	0,014
n2	-0,38	0,036	0,08	0,005
n3	-0,13	0,071	0,009	0,0005
n4	0,13	0,036	0,009	0,0005
n5	0,38	0,071	0,08	0,005
n6	0,64	0,036	0,22	0,014
n7	0,9	0	0,44	0,028

По результатам расчетов строим гистограмму: эмпирическую кривую, распределение плотностей вероятностей fэ(li), теоретическую кривую распределения fт(li) и выравнивающую кривую.

F(i)

F(i)

Проверка согласия между эмпирическим и теоретическим (нормальным) законом распределения по критерию х² Пирсона:

а.) Определим меру расхождения между эмпирическим и теоретическим распределениями:

1 = 7*4*(0,25 – 0,067)²/0.014=6,7; 2=0.937/0.005=18.74; 3=187,4;

4=187.4; 5=18.74; 6=6.7; 7=3.3

б.) Вычислим число степеней свободы m ( при этом интервалы, в которых частоты n1 меньше 5-ти объединим с соседними интервалами):

m=r1-k-1 где

r1— число интервалов полученное при объединении;

к - количество параметров закона распределения.

Нормальный закон является двухпараметрическим и определяется математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением, т.е. к=2.

m=4-2-1=1

в.) По значениям х² и m определим вероятность согласия Р(х²) теоретического и эмпирического измерения Р(х²) = Р(6,7) = 0.07; Р(х²)>0,05, значит эмпирическое распределение согласуется с нормальным законом распределения.

Определение оценок показателей надежности детали:

а) рассчитаем значение среднего ресурса R при нормальном законе распределения, который численно равен математическому ожиданию а, поэтому R= а = 43 (тыс. км)

б) рассчитаем вероятность безотказной работы детали по интервалам наработки по формуле:

Р(li) = (N - ni/ N),

Р(l1) = 7-0/7 = 1 Р(l2) = 0,86 Р(l3) = 7-1/7 =0,57 Р(l4) = 7-2/7 = 0,42

Р(l5) = 7-5/7 = 0,14 Р(l6) = 0 Р(l7) =0

в) построим кривую вероятности безотказной работы детали Р(/|) в зависимости от ее наработки

P(i)

li

График P(li) кривая вероятности безотказной работы детали в зависимости

от наработки l