55)Операции над сходящимся последовательности. Последовательность, у которой существует предел, именуется сходящейся. A1, a2, a3, ..., an, ..., {an}

и

b₁, b₂, b₃, ..., b_n, ..., {b_n},

то получим их сумму в виде

(a₁ + b₁), (a₂ + b₂), (a₃ + b₃), ..., (a_n + b_n), ..., {a_n} + {b_n},

разность в виде

(a₁ - b₁), (a₂ - b₂), (a₃ - b₃), ..., (a_n - b_n), ..., {a_n} - {b_n},

а их произведение в виде

(a₁   b₁), (a₂   b₂), (a₃   b₃), ..., (a_n   b_n), ..., {a_n}   {b_n}.

     Частное от деления двух последовательностей получим как частное от деления членов последовательности {a_n} на соответствующие члены последовательности {b_n} при условии, что в последовательности {b_n} нет членов равных нулю.

56)Экспоненте. Функция y = e^x - это частный случай показательной функции. Основанием функции y = e^x является иррациональное число e = 2.7182818284... Эта функция обладает характерной особенностью: касательная к графику функции y = e^x в точке x = 0, y= 1 составляет угол 45 градусов с осью X.

57)Бесконечно малые и больше величины. Бесконечно малая  Последовательность называется бесконечно малой, если   Например, последовательность чисел — бесконечно малая.

Бесконечно большая величина Последовательность называется бесконечно большой, если : .. Функция называется бесконечно большой в окресности точки , если . .

58)Функция одной переменной.Опреление…  Пусть Х и Y — некоторые числовые множества и пусть каждому элементу x   Х по какому-либо закону f поставлен в соответствие один элемент у   Y. Тогда будем говорить, что определена функциональная зависимость у от x по закону у = f(x). При этом x называют независимой переменной (или аргументом), у — зависимой переменной, множество Х — областью определения (существования) функции, множество Y — областью значений (изменения) функции.

59) Способы задания функции.

 Аналитический способ.

Аналитический способ - это наиболее часто встречающийся способ задания функции.

Заключается он в том, что функция задается формулой, устанавливающей, какие операции нужно произвести над х, чтобы найти у. Например . .

Рассмотрим первый пример - . Здесь значению x = 1 соответствует , , значению x = 3 соответствует и т. д.

Функция может быть задана на разных частях множества X разными функциями.

При графическом способе вводится прямоугольная система координат и в этой системе координат изображается множество точек с координатами (x,y). При этом  .

Табличный способ. Табличный способ наиболее удобен, когда множество Х конечно. При этом способе составляется таблица, в которой каждому элементу из множества Х, ставится в соответствие число Y. Основными элементарными функциями являются: постоянная функция (константа), корень n-ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Постоянная функция (константа), ее график и свойства.  Корень n-ой степени, свойства и график.  Степенная функция, ее график и свойства.  Показательная функция, свойства, график.  Логарифмическая функция, ее свойства, графическая иллюстрация.  Свойства и графики тригонометрических функций.  Обратные тригонометрические функции (аркфункции), их свойства и графики.

60) Предел функции, определение, свойства. Точку (действительное число) a называют пределом (значений) функции f(x) x  X, в точке х₀ ; если для любой последовательности точек x_n  X ; n = 1,2,… , имеющей своим пределом точку x₀ , последовательность значений функции в этих точках, т.е. { f(x_n) }, имеет своим пределом точку a.  Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2) Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

Расширенное свойство предела суммы:

Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

4) Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

Расширенное свойство предела произведения

Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

5) Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

61) Бесконечно малые функции и их эквивалентные

Функции   и   называют эквивалентными бесконечно малыми при  , если 

62) первый и второй замечательные пределы.

  ; (Первый замечательный предел)

  (Второй замечательный предел)

63) Непрерывность функции в точке,свойство.

Пусть функции     и     непрерывны в точке  a. Тогда

Согласно свойству пределов функций существование пределов функций     и     гарантирует существование предела их суммы. При этом

что и требовалось доказать.  Свойство. Сумма конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. 

 Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. 

Любая элементарная функция непрерывна в области своего определения.  Для доказательства этой теоремы нужно показать, что для любого числа  a  из области определения элементарной функции     выполняется условие

68) Производная показательной и степенной функций.

Производные показательных функций:

Производные степенных функций:

69) Производные логарифмических и тригонометрических функций.

Производные логарифмических функций:

Производные тригонометрических функций:

70)Производная сложной функции.

Если y=f(u), где u=u(x), то есть y — сложная функция, то производная сложной функции находится по следующему правилу: y’=f’(u)·u’(x), то есть производную внешней функции f надо умножить на производную внутренней функции u.

 y=sin(2x+3). Здесь внешняя функция синус: f=sinu, внутренняя — линейная: u=2x+3. Соответственно, производная данной сложной функции есть y’=cos(2x+3)·(2x+3)’=c0s(2x+3)·2=2c0s(2x+3).

71)Производная обратной функции.